1,

a,

Xét `\triangle AOM` và `\triangle BOM` có :

`OA = OB` (gt)  

`\hat{AOM} = \hat{MOB}` ( `Ot` là tia phân giác `\hat{xOy}` )

`OM` _ cạnh chung

`=> \triangle AOM = \triangle BOM ` ( c . g . c) 

b,

Ta có : ` \triangle AOM = \triangle BOM `

Suy ra : `AM = MB` ( `2` cạnh tương ứng ) và `\hat{OAM} = \hat{OBM}` ( `2` góc tương ứng )

Từ `\hat{OAM} = \hat{OBM} <=> 180^o - \hat{OAM} = 180^o - \hat{OBM} <=> \hat{MAD} = \hat{MBC}`

Xét `\triangle AMD` và `\triangle BMC` có :

`\hat{MAD} = \hat{MBC}`

`AM = MB` (cmt)

`\hat{AMD} = \hat{BMC}` ( `2` góc đối đỉnh )

`=> \triangle AMD = \triangle BMC ` ( g . c . g)

`=> MD = MC` ( `2` cạnh tương ứng )

`=> MD + MB= MC +MA`

`<=> AC = BD`

c/

Gọi `G` là giao điểm của `AB` với `OM`.

Xét `\triangle AOG` và `\triangle BOG` có :

`OA = OB` (gt)

`\hat{AOG} = \hat{BOG}` ( `Ot` là tia phân giác `\hat{xOy}` )

`OG` _ cạnh chung

`=> \triangle AOG = \triangle BOG` ( c . g . c)

`=> \hat{AOG} = \hat{BOG}` ( `2` góc tương ứng )

Mà đây là `2` góc kề bù `<=> \hat{AOG}+ \hat{BOG} =180^o` 

`<=> 2\hat{AOG} =180^o => \hat{AOG} =90^o <=> OG \bot AB`

`<=> Ot \bot AB` Mà `d \bot AB ` 

Nên $d \parallel Ot$

2,

a, Xét `\triangle OAH` vuông tại `A` và `\triangle OBH` vuông tại `B`

`OA = OB` (gt)

`OH`_ cạnh chung

`=> \triangle OAH = OBH` ( ch - cgv)

`=> HA = HB` ( `2` cạnh tương ứng )

Xét `\triangle AHN` vuông tại `A` và `\triangle BHM` có :

`AH = BH` ( cmt)

`\hat{AHN} = \hat{BHM}`

`=> \triangle AHN = \triangle BHM ` ( cgv - gn kề cạnh ấy )

`=> AN = MB` ( `2` cạnh tương ứng ) (đpcm) 

`=> AN + OA = MB + OB`

`=> ON = OM` (đpcm) 

b,

Ta có :  `\triangle OAH = OBH` (cmt) 

`=> \hat{AOH} = \hat{HOB}` ( `2` góc tương ứng )

`=>  OH` là tia phân giác `\hat{xOy}` (đpcm)

c,

`\triangle OAH = \triangle OBH => \hat{AHO} = \hat{BHO}` ( 2 góc tương ứng )
Mà $\begin{cases} \widehat{AHO} = \widehat{IHM} ( \text{ 2 góc đối đỉnh } ) \\ \widehat{OHB} = \widehat{NHI} ( \text{ 2 góc đối đỉnh } ) \end{cases}$ 

`=> \hat{NHI} = \hat{IHM}` 

` \triangle AHN = \triangle BHM ` (cmt)

`=> HN = HM` ( `2` cạnh tương ứng )

Xét `\triangle NHI` và `\triangle MHI` có :

` HN = HM` ( cmt)

`\hat{NHI} = \hat{IHM}`  (cmt)

`HI` _ cạnh chung 

`=> \triangle NHI = \triangle MHI` ( c . g . c)

`=> NI = IM` ( `2` cạnh tương ứng ) 

Xét `\triangle ONI` và `\triangle OMI` có :

`OM = ON` (cmt)

`OI` _ cạnh chung

`NI = IM` (cmt)

`=> \triangle ONI = \triangle OMI` ( c . c .c )

`=> \hat{NOI}= \hat{MOI}` ( `2` góc tương ứng )

`=> OI` là tia phân giác `\hat{NOM}` 

Hay `OI` là tia phân giác `\hat{xOy}`

Mà `OH` đồng thời là tia phân giác `\hat{xOy}`

`=> O ; H ; I` thẳng hàng . (đpcm).