Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a. Xét $2$ $ΔABH$ và $ΔACH$ vuông có:

$AH$ chung

$AB$ $=$ $AC$ (gt)

⇒$ΔABH$ $=$ $ΔACH$ (ch - cgv) (đpcm)

⇒Góc $BAH$ $=$ góc $CAH$

⇒$AH$ là tia phân giác của góc $BAC$ (đpcm)

$b$. $ΔAHB$ vuông tại $H$

⇒$AB²$ $=$ $AH²$ $+$ $BH²$

⇔$102$ $=$ $AH²$ $+$ $82$

⇔$AH²$ $=$ $36$

⇔ $AH$ $=$ $6cm$

$c$. $ΔABH$ $=$ $ΔACH$ (ch - cgv)

⇒$HB$ $=$ $HC$

⇒$AH$ là trung tuyến của $ΔABC$

$ΔABC$ có $AH$, $BE$ là các trung tuyến cắt nhau tại $G$

⇒$G$ là trọng tâm

⇒$HG$ = $1/3AH$ $=$ $6/3$ $=$ $2cm$

$d$. Ta có góc $FHB$ $=$ góc $ACB$ ($HF$ $//$ $AC$ nên đó là hai góc ở vị trí đồng vị) 

Mà góc $ABC$ = góc $ACB$

⇒Góc $FHB$ $=$ góc $FCH$

⇒$∆FBH$ cân đỉnh $F$

⇒$FB$ $=$ $FH$ ($1$) 

Ta có: góc $FHA$ $=$ góc $HAC$ $F$ $//$ $AE$ nên đó là hai góc so le trong)

Lại có: góc $FAH$ $=$ góc $HAC$ (cm câu $a$)

⇒Góc $FHA$ $=$ góc $FEH$

⇒$∆FAH$ cân đỉnh $F$

⇒FA$ $=$ $FH$ ($2$) 

Từ ($1$) và ($2$) suy ra:

$FA$,  $=$ $FB$ (=$FH$) 

⇒$F$ là trung điểm của $AB$

⇒$CF$ là đường trung tuyến của $∆ABC$

 ↣ $AH$ cũng là đường đường trung tuyến vì $HB$ $=$ $HC$ (suy ra từ câu $a$) 

$AH$,$BE$ là hai đường trung tuyến cắt nhau tại $G$ nên $G$ là trong tâm

⇒$CF$ ⇒$CF$ đi qua $, G$

⇒ $G$, $C$, $F$ thẳng hàng (đpcm)