Lời giải:

a) Xét $\triangle ABK$ và $\triangle DCK$ có:

$\begin{cases}AK = KD = \dfrac12AD\quad (gt)\\BK = KC = \dfrac12BC\quad (gt)\\\widehat{AKB} = \widehat{DKC}\quad \text{(đối đỉnh)}\end{cases}$

Do đó $\triangle ABK = \triangle DCK\ (c.g.c)$

$\Rightarrow AB = CD$ (hai cạnh tương ứng)

b) Xét $\triangle ACK$ và $\triangle DBK$ có:

$\begin{cases}AK = KD = \dfrac12AD\quad (gt)\\BK = KC = \dfrac12BC\quad (gt)\\\widehat{AKC} = \widehat{DKB}\quad \text{(đối đỉnh)}\end{cases}$

Do đó $\triangle ACK = \triangle DBK\ (c.g.c)$

$\Rightarrow \widehat{KAC} = \widehat{KDB}$ (hai góc tương ứng)

mà $\widehat{KAC}$ và $\widehat{KDB}$ là hai góc ở vị trí so le trong

nên $AC//BD$

c) Ta có: $\triangle ABK = \triangle DCK$ (câu a)

$\Rightarrow \widehat{KAB} = \widehat{KDC}$ (hai góc tương ứng)

mà $\widehat{KAB} $ và $\widehat{KDC}$ là hai góc ở vị trí so le trong

nên $AB//CD$

Lại có: $AB\perp AC\quad (\triangle ABC$ vuông tại $A)$

$\Rightarrow CD\perp AC$

$\Rightarrow \widehat{DCA} = 90^\circ$

d) Xét $\triangle ABC$ và $\triangle CDA$ có:

$\begin{cases}AB = CD\quad \text{(câu a)}\\\widehat{BAC} = \widehat{DCA}= 90^\circ\\BC:\ \text{cạnh chung}\end{cases}$

Do đó $\triangle ABC = \triangle CDA$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

$\Rightarrow BC = AD$ (hai cạnh tương ứng)

Ta lại có: $AK = \dfrac12AD$

nên $AK = \dfrac12BC$