Ta có tính chất: Trọng tâm chia một tam giác thành `3` tam giác nhỏ có diện tích bằng nhau

Ta có:

$G$ là trọng tâm $\triangle ABD$

$\Rightarrow S_{AGD} = S_{AGB} = S_{BGD} = \dfrac13S_{ABD}$

Tương tự, ta được:

$S_{BIC} = S_{BID} = S_{CID} = \dfrac13S_{BCD}$

mà $S_{ABD} = S_{BCD} = \dfrac12S_{ABCD}$

nên $S_{AGD} = S_{CIB}$

Ta có:

$OA= \dfrac12AC$

$OG = \dfrac13OA$

$\Rightarrow OG = \dfrac16AC$

Tương tự:

$OI = \dfrac16AC$

$\Rightarrow GI = OI = OG = \dfrac13AC$

$\Rightarrow S_{DGI} = \dfrac13S_{ACD}$

$\Rightarrow S_{DGI} = \dfrac16S_{ABCD}$

Tương tự: $S_{BGI} =\dfrac16S_{ABCD}$

$\Rightarrow S_{BGDI} = \dfrac13S_{ABCD}$

Mặt khác:

$IC = 2OI$

$\Rightarrow IC = IG = \dfrac13AC$

$\Rightarrow GC = \dfrac23AC$

$\Rightarrow S_{BGC} = \dfrac23S_{ABC}$

$\Rightarrow S_{BGC} = \dfrac13S_{ABCD}$

Vậy $S_{BGC} = S_{BGDI}$