a) Tứ giác $AMHN$ có:

$\widehat{A}=\widehat{M}=\widehat{N}=90^o$

$\Rightarrow AMHN$ là hình chữ nhật.

b) Ta có: $I$ là trung điểm $HC$

$K$ đối xứng với $A$ qua $I\Rightarrow I$ là trung điểm $AK$

$\Rightarrow$ Tứ giác $AHKC$ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

$\Rightarrow AHKC$ là hình bình hành

$\Rightarrow AC\parallel HK$.

c) Ta có: $MH\parallel AN$ (do $AMHN$ là hình chữ nhật)

$\Rightarrow MH\parallel AC$

Mà $AC\parallel HK$ (cmt)

$\Rightarrow MH\parallel HK$

$\Rightarrow M,H,K$ thẳng hàng

$\Rightarrow MK\parallel NC$

$\Rightarrow MNCK$ là hình thang (1)

Ta có: $AHKC$ là hình bình hành

$\Rightarrow CK=AH$

mà $AH=NM$ (do $AMHN$ là hình chữ nhật)

$\Rightarrow CK=NM$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow MNCK$ là hình thang cân.

d) $\Delta AHC$ có

$O$ là trung điểm của $AH$

$\Rightarrow CO$ là trung tuyến

$I$ là trung điểm của $HC$

$\Rightarrow AI$ là trung tuyến

Mà $CO\cap AI=D$

$\Rightarrow D$ là trọng tâm $\Delta AHC$

$\Rightarrow AD=\dfrac{2}{3}AI=\dfrac{2}{3}\dfrac{1}{2}AK$

$\Rightarrow AD=\dfrac{1}{3}AK$

$\Rightarrow AK=3AD$ (đpcm).