II.3

a) ΔABC cân tại A ⇒ AB = AC; ∠ABC = ∠ACB

Lại có: BD = CE (gt)

⇒ AB + BD = AC + CE

⇒   AD  =  AE

Xét ΔABE và ΔACD có: 

   AB = AC (cmt)

    ∠A: góc chung

    AE = AD (cmt)

⇒ ΔABE = ΔACD (c.g.c)

⇒ BE = CD (2 cạnh tương ứng)

    ∠ABE = ∠ACD (2 góc tương ứng)

mà ∠ABC = ∠ACB (cmt)

⇒ ∠ABE - ∠ABC = ∠ACB - ∠ACD

⇒  ∠IBC  =  ∠ICB

⇒ ∠BIC cân tại I  ⇒ IB = IC

Lại có: BE = CD (cmt)  ⇒ BE - IB = CD = IC

⇒  IE  =  ID

b) ΔABC có: ∠A + ∠ABC + ∠ACB = $180^{o}$

⇒ ∠A + 2 . ∠ABC = $180^{o}$

⇒                ∠ABC = $\frac{180^{o}-∠A}{2}$ (1)

ΔADE có AD = AE  ⇒ ΔADE cân tại A

⇒ ∠ADE + ∠AED

    ∠A + ∠ADE + ∠AED = $180^{o}$

⇒ ∠A + 2 . ∠ADE   = $180^{o}$

⇒                ∠ADE = $\frac{180^{o}-∠A}{2}$ (2)

Từ (1) và (2) ⇒ ∠ABC = ∠ADE

mà 2 góc ở vị trí đồng vị  ⇒ BC // DE

c) Xét ΔAMB và ΔAMC có:

       AB = AC (cm a)

       AM: cạnh chung

       MB = MC (M là trung điểm của BC)

⇒ ΔAMB = ΔAMC (c.c.c)

⇒ ∠AMB + ∠AMC (2 góc tương ứng) 

mà ∠AMB + ∠AMC = $180^{o}$ (2 góc kề bù)

⇒ ∠AMB = ∠AMC = $\frac{180^{o}}{2}$ = $90^{o}$

⇒ AM ⊥ BC (3)

Xét ΔIMB và ΔIMC có:

   IB = IC (cm b)

   IM: cạnh chung

    MB = MC (M là tđ của BC)

⇒ ΔIMB = ΔIMC (c.c.c)

⇒ ∠IMB = ∠IMC (2 góc tương ứng)

mà ∠IMB + ∠IMC = $180^{o}$ (2 góc kề bù)

⇒ ∠IMB = ∠IMC = $\frac{180^{o}}{2}$ = $90^{o}$

⇒ IM ⊥ BC (4)

Từ (3) và (4) ⇒ 3 điểm A, M, I thẳng hàng

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a) ΔABC cân tại A ⇒ AB = AC; ∠ABC = ∠ACB
Lại có: BD = CE (gt)
⇒ AB + BD = AC + CE
⇒   AD  =  AE
Xét ΔABE và ΔACD có: 
  AB = AC (cmt)
    ∠A: góc chung
  AE = AD (cmt)
⇒ ΔABE = ΔACD (c.g.c)
⇒ BE = CD (2 cạnh tương ứng)
    ∠ABE = ∠ACD (2 góc tương ứng)
mà ∠ABC = ∠ACB (cmt)
⇒ ∠ABE - ∠ABC = ∠ACB - ∠ACD
⇒  ∠IBC  =  ∠ICB
⇒ ∠BIC cân tại I  ⇒ IB = IC
Lại có: BE = CD (cmt)  ⇒ BE - IB = CD = IC
⇒  IE  =  ID