a) Ta có $E$ là trung điểm của $BC\Rightarrow EC=BE=\dfrac{1}{2}BC$

$F$ là trung điểm của $AD\Rightarrow AF=FD=\dfrac{1}{2}AD$

Mà tứ giác $ABCD$ là hình bình hành $\Rightarrow EC=AD$ 

và $EC\parallel AD$

$\Rightarrow EC\parallel=AD$

$\Rightarrow $ tứ giác $AECF$ là hình bình hành

b) Ta có $BE=AF$ (vì $=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}AD$)

và $BE\parallel AF$

$\Rightarrow ABEF$ là hình bình hành có $AB=BE$ (vì cùng $=\dfrac{1}{2}AD=\dfrac{1}{2}BC$)

$\Rightarrow ABEF$ là hình thoi

2 đường chéo của hình thoi vuông góc với nhau

$\Rightarrow AE\bot BF$

c) $\Delta ABF$ có $AB=AF$ (do $ABEF$ là hình thoi)

và có $\widehat A=60^o$

$\Rightarrow \Delta ABF$ là tam giác đều

$\Rightarrow \widehat{ABF}=\widehat{AFB}=60^o$

$\Rightarrow \widehat{BFD}=180^o-\widehat{ABF}=180^o-60^o=120^o$

Và $ BF=AF=FD\Rightarrow \Delta FBD$ cân đỉnh $F$

$\Rightarrow \widehat{FBD}=\widehat{FDB}=\dfrac{180^o-\widehat{BFD}}{2}=\dfrac{180^o-120^o}{2}=30^o$

$\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{ABF}+\widehat{FBD}=60^o+30^o=90^o$

d) Tứ giác $BFDC$ có $FD\parallel BC$

$\Rightarrow BFDC$ là hình thang

Lại có $BF=AB=DC$

$\Rightarrow BFDC$ là hình thang cân

e)

f) Tứ giác $ABCD$ là hinh bình hành

Gọi $O=AC\cap BD\Rightarrow O$ là trung điểm của $AC$ và $BD$

Tứ giác $AECF$ là hình bình hành $\Rightarrow $ 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

có $O  $ là trung điểm của $AC\Rightarrow O$ là trung điểm của $EF$

$\Rightarrow AC,BD,EF$ đồng quy tại $O$ là trung điểm của mỗi đường.