Gọi d= ƯCLN(7n+3; 8n-1) với d∈N*)

Ta có: 7n+3 chia hết cho d ⇒ 8(7n+3) chia hết cho d ⇒ 56n+24 chia hết cho d (1)

8n-1 chia hết cho d ⇒ 7(8n-1) chia hết cho d ⇒ 56n-7 chia hết cho d (2)

 Từ (1) và (2) ⇒ (56n+24)-(56n-7) chia hết cho d

⇒ 31 chia hết cho d

⇒ d∈Ư(31)

Giả sử 7n+3 và 8n-1 không nguyên tố cùng nhau:

⇒ (8n-1)-(7n+3) chia hết cho 11

⇒ n-4 chia hết cho 11

⇒ n-4= 11k (k∈N*)

⇒ n= 11k+4

 Với n khác 11k+4 ( với k∈N*) thì 7n+3 và 8n-1 nguyên tố cùng nhau.

gọi a=ƯCLN(7n+3;8n-1) (với a thuộc N sao)

 T/c: 7n+3 chia hết cho a =>8(7n+3)chia hết cho a =>56n+24 chia hết cho a(1)

8n-1 chia hết cho a =>7(8n-1) chia hết cho a=> 56n-7 chia hết cho a (2)

(1)(2)=>(56n+24)-(56n-7) chia hết cho a

=>31 chia hết cho a

=>a thuộc Ư (31)

 nếu 7n+3 và 8n-1 kh n tố cùng nhau

=>(8n-1)-(7n+3) chiaết cho 11

=>n-4 chiaết cho 11

=>n-4=11k

=>n= 11k +4

ậy vs n khác 11k +4 (vs k thuộc N sao) thì 7n+3 và 8n-1 n tố cùng nhau