1) Do $AM$ là trung tuyến nên $M$ là trung điểm cạnh $BC$

Lại có $MN\bot AB$$\Rightarrow MN\parallel AC$ (vì cùng $\bot AB$)

$\Rightarrow MN$ là đường trung bình $\Delta ABC$

$\Rightarrow MN=\dfrac{1}{2}AC$

$\Rightarrow AC=2MN$ (đpcm)

2) Ta có $M$ là trung điểm cạnh $BC$

$MP\parallel AB$ (vì cùng $\bot AC$)

$\Rightarrow MP$ là đường trung bình $\Delta ABC$

$\Rightarrow MP\parallel=\dfrac{1}{2}AB$

$\dfrac{1}{2}AB=BN$ (do $MN$ là đường trung bình $\Delta ABC$)

$\Rightarrow MP\parallel=BN$

$\Rightarrow BMPN$ là hình bình hành (vì có cặp cạnh đối diện song song bằng nhau)

3) Ta có $E$ là trung điểm cạnh $BM$

$F=AM\cap PN\Rightarrow F$ là trung điểm của $AM$

$\Rightarrow EF$ là đường trung bình $\Delta ABM$

$\Rightarrow EF\parallel AB$

$\Rightarrow ABEF$ là hình thang

Ta có $N$ là trung điểm của $AB$

$F$ là trung điểm cạnh $AM$

$\Rightarrow NF$ là đường trung bình $\Delta ABM$

$\Rightarrow NF=\dfrac{1}{2}BM=BE$ mà $NF=AF$

$\Rightarrow BE=AF$

Tứ giác $ABEF$ là hình thang có $BE=AF$

$\Rightarrow ABEF$ là hình thang cân (đpcm)

4) Ta có $\Delta ABH\bot H$ có $MN$ là đường trung bình $\Delta ABC\Rightarrow N$ là trung điểm của $AB$, nên $\Delta ABH $ có $NH$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $AB$

$\Rightarrow NH=\dfrac{1}{2}AB=BN$

$\Rightarrow \Delta BHN$ cân đỉnh $N$

$\Rightarrow\widehat{BHN}=\widehat{NBH}$ (1)

$\widehat{ABH}=\widehat{HAC}$ (2) (cùng phụ với góc $\widehat{BAH}$)

$\Delta AHC\bot H$, $MP$ là đường trung bình của $\Delta ABC\Rightarrow P$ là trung điểm cạnh $AC$

$\Rightarrow HP=\dfrac{1}{2}AC=AP=PC$

$\Rightarrow AHP$ cân đỉnh $P$

$\Rightarrow \widehat{HAP}=\widehat{AHP}$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\widehat{BHN}=\widehat{AHP}$

$\widehat{NHP}=\widehat{NHA}+\widehat{AHP}$

$=\widehat{NHA}+\widehat{BHN}=90^o$

$\Rightarrow \widehat{NHP}=90^o\Rightarrow HP\bot NH$ (*)

Do $MK\parallel AH$ mà $AH\bot BC$

$\Rightarrow MK\bot BC$

$\Delta KBC$ có $KM$ vừa là trung tuyến và $KM$ vừa là đường cao

$\Rightarrow \Delta KBC$ là tam giác cân đỉnh $K$

$\Rightarrow \widehat{KBC}=\widehat{KCH}$ (4)

Mà $\Delta PHC$ có $HP=PC\Rightarrow \Delta HPC$ cân đỉnh $P$

$\Rightarrow \widehat{PCH}=\widehat{PHC}$ (5)

Từ (4) và (5) suy ra $\widehat{KBC}=\widehat{PHC}$ mà chúng ở vị trí đồng vị

$\Rightarrow BK\parallel HP$ (**)

Từ (*) và (**) suy ra $BK\bot NH$ (đpcm)