`a)` Xét $∆MAB$ và $∆MDC$ có:

`\qquad MB=MC` (vì `M` là trung điểm $BC$)

`\qquad \hat{AMB}=\hat{DMC}` (hai góc đối đỉnh)

`\qquad MA=MD` (gt)

`=>∆MAB=∆MDC` (c-g-c)

$\\$

`b)` Vì `∆MAB=∆MDC` (câu a)

`=>\hat{ABM}=\hat{DCM}` (hai góc tương ứng)

Mà hai góc `\hat{ABM};\hat{DCM}` ở vị trí so le trong 

`=>AB`//$CD$

$\\$

`c)` Ta có:

`AB`//$CD$ (câu b)

`AB`$\perp AC$ (do $∆ABC$ vuông tại $A$)

`=>CD`$\perp AC$

$\\$

Xét $∆ABC$ và $CDA$ có:

`\qquad AC` là cạnh chung 

`\qquad \hat{BAC}=\hat{DCA}=90°`

`\qquad AB=CD` (do $∆MAB=∆MDC$)

`=>∆ABC=∆CDA` (c-g-c)

`=>BC=DA` (hai cạnh tương ứng) $(1)$

$\\$

Vì $∆MAB=∆MDC$ (câu a)

`=>AM=DM` (hai cạnh tương ứng)

`=>DA=AM+DM=AM+AM=2AM` $(2)$

$\\$

Từ `(1);(2)=>BC=2AM`

$\\$

`d)` Xét $∆MBD$ và $∆MCA$ có:

`\qquad MB=MC` (vì $M$ là trung điểm $BC$)

`\qquad \hat{BMD}=\hat{CMA}` (hai góc đối đỉnh)

`\qquad DM=AM` (c/m trên)

`=>∆MBD=∆MCA` (c-g-c)

`=>\hat{MBD}=\hat{MCA}` (hai góc tương ứng)

Mà hai góc `\hat{MBD};\hat{MCA}` ở vị trí so le trong 

`=>BD`//$AC$ 

Vì $AB\perp AC$

`=>AB`$\perp BD$

a/

Xét `\triangle MAB` và `\triangle MDC` có :

`MB = MC` (gt)

`\hat{CMD} = \hat{BMA}` ( `2` góc đối đỉnh )

`MA = MD` (gt)

`=>\triangle MAB =\triangle MDC` ( c . g . c)

b/
`\triangle MAB =\triangle MDC` ( cmt)

`=>  \hat{MBA} = \hat{MCD}` ( `2` góc tương ứng ) .

Mà đây là `2` góc ở vị trí so le trong. Suy ra : $AB \parallel CD$

c/

Ta có : $AB \parallel CD$ . Mà `AB \bot AC `.

Suy ra : $CD \bot AC$ ( Quan hệ từ `\bot ->` $\parallel$ )

Xét `\triangle ABC` và `\triangle CDA` có :

`AB = CD` ( vì `\triangle  MAB = \triangle MDC` ) 

`\hat{BAC} = \hat{ACD} ( = 90^o )` 

`AC` là cạnh chung

Suy ra : `\triangle ABC = \triangle CDA` ( c . g .c ) 

`=> BC = AD` ( `2` cạnh tương ứng) 

`=> BC = 2AM` (đpcm)

d/ 

Cmtt ta được : `\triangle MBD = \triangle MCA` (c . g . c)

Suy ra : `\hat{MBD} = \hat{MCA}` ( `2` góc tương ứng )

Mà đây là `2` góc ở vị trí so le trong. Suy ra : $DB \parallel CA$

Lại có : `AB \bot AC` ( gt) `=> AB \bot BD` ( Quan hệ từ `\bot ->` $\parallel$ )