Đáp án:

$S = \pi a^2$

Giải thích các bước giải:

Sửa đề: $d(A;(SBD)) = \dfrac{a\sqrt2}{2}$

Ta có:

$\begin{cases}SA\perp BC\\BC\perp AB\end{cases}$

$\Rightarrow BC\perp (SAB)$

$\Rightarrow BC\perp AM$

mà $SC\perp AM\quad (AM\subset (P))$

nên $AM\perp (SBC)$

$\Rightarrow AM\perp SB$

$\Rightarrow \triangle SAM$ vuông tại $M$

Chứng minh tương tự, ta được:

$AK\perp (SCD)$

$\Rightarrow AK\perp SD$

$\Rightarrow \triangle SAK$ vuông tại $K$

Bên cạnh đó:

$\begin{cases}SC\perp (P)\\AN\subset (P)\end{cases}$

$\Rightarrow SC\perp AN$

$\Rightarrow \triangle SAN$ vuông tại $N$

Ta có: $SA;\ AB;\ AD$ đôi một vuông góc tại $A$

$\Rightarrow \dfrac{1}{d^2(A;(SBD))} = \dfrac{1}{SA^2} + \dfrac{1}{AB^2} + \dfrac{1}{AD^2}$

$\Leftrightarrow \dfrac{2}{a^2} = \dfrac{1}{SA^2} + \dfrac{1}{2a^2} + \dfrac{1}{2a^2}$

$\Rightarrow SA = a$

Gọi $I$ là trung điểm cạnh huyền $SA$

$\Rightarrow SI = IA = \dfrac12SA = \dfrac{a}{2}$

Xét $\triangle SAM$ vuông tại $M$ có:

$I$ là trung điểm cạnh huyền $SA$

$\Rightarrow SI = IA = IM$

Xét $\triangle SAN$ vuông tại $N$ có:

$I$ là trung điểm cạnh huyền $SA$

$\Rightarrow SI = IA = IN$

Xét $\triangle SAK$ vuông tại $K$ có:

$I$ là trung điểm cạnh huyền $SA$

$\Rightarrow SI = IA = IK$

Do đó: $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.AMNK$, bán kính $R = \dfrac{a}{2}$

Ta được:

$S = 4\pi\cdot \left(\dfrac{a}{2}\right)^2 =\pi a^2$