Đáp án:

$C.\ \pi - \dfrac23$

Giải thích các bước giải:

Dễ dàng nhận thấy đường tròn có bán kính $R = \sqrt2$

$\Rightarrow S = \pi\cdot \left(\sqrt2\right)^2 = 2\pi$

Do tính đối xứng của hình vẽ, ta chỉ cần tính phần diện tích tô đậm phía trên trục hoành

$+)$ Diện tích giới hạn bởi $y = x^2$ và nửa đường tròn nằm trên trục hoành:

$S_1 = \displaystyle\int\limits_{-1}^1\left(\sqrt{2 - x^2} - x^2\right)dx$

Đặt $x = \sqrt2\sin u$

$\Rightarrow dx = \sqrt2\cos udu$

Đổi cận:

$\begin{array}{c|ccc}x&-1&&1\\\hline u&-\dfrac{\pi}{4}&&\dfrac{\pi}{4}\end{array}$

Ta được:

$\quad S_1 = \displaystyle\int\limits_{-\tfrac{\pi}{4}}^{\tfrac{\pi}{4}}\sqrt{2\cos^2u}.\sqrt2\cos udu -\displaystyle\int\limits_{-1}^1x^2dx $

$\Leftrightarrow S_1 = 2\kern-7pt\displaystyle\int\limits_{-\tfrac{\pi}{4}}^{\tfrac{\pi}{4}}\cos^2udu - \displaystyle\int\limits_{-1}^1x^2dx $

$\Leftrightarrow S_1 = \displaystyle\int\limits_{-\tfrac{\pi}{4}}^{\tfrac{\pi}{4}}\cos2udu + \displaystyle\int\limits_{-\tfrac{\pi}{4}}^{\tfrac{\pi}{4}}1du - \displaystyle\int\limits_{-1}^1x^2dx $

$\Leftrightarrow S_1 = \dfrac12\sin2u\Bigg|_{-\tfrac{\pi}{4}}^{\tfrac{\pi}{4}} + u\Bigg|_{-\tfrac{\pi}{4}}^{\tfrac{\pi}{4}}  - \dfrac{x^3}{3}\Bigg|_{-1}^1$

$\Leftrightarrow S_1 = 1 + \dfrac{\pi}{2} -\dfrac23$

$\Leftrightarrow S_1 = \dfrac{\pi}{2} + \dfrac13$

$+)$ Diện tích phần tô đậm nằm trên trục hoành:

$\quad S_2= \dfrac12S - S_1$

$\Leftrightarrow S_2 = \pi - \left(\dfrac{\pi}{2} + \dfrac13\right)$

$\Leftrightarrow S_2= \dfrac{\pi}{2} - \dfrac13$

$+)$ Diện tích phần tô đậm:

$\quad S_3= 2S_2 = \pi - \dfrac23$