Đáp án:

$A.\ S = 2- \dfrac{\pi}{2}$

Giải thích các bước giải:

Phương trình hoành độ giao điểm $A$ giữa đường thẳng $x + y  =2\sqrt2$ và cung tròn $y = \sqrt{4 - x^2}\ \ \left(\sqrt2 \leqslant x \leqslant 2\right):$

$\quad - x + 2\sqrt2 = \sqrt{4 - x^2} \Leftrightarrow x = \sqrt2 \Rightarrow y = \sqrt2$

$\Rightarrow A\left(\sqrt2;\sqrt2\right)$

Gọi $C$ là giao điểm của đường thẳng $x + y = 2\sqrt2$ và trục hoành

$\Rightarrow C\left(2\sqrt2;0\right)$

$+)$ Diện tích tam giác $ABC:$

$S_1 = \dfrac12AB.BC = \dfrac12\cdot \sqrt2\cdot (2\sqrt2 - \sqrt2) = 1$

$+)$ Diện tích giới hạn bởi cung tròn và trục hoành trên $\left[\sqrt2;2\right]$ (phần gạch chéo):

$S_2 = \displaystyle\int\limits_{\sqrt2}^2\sqrt{4-x^2}dx$

Đặt $x = 2\sin u$

$\Rightarrow dx = 2\cos udu$

Đổi cận:

$\begin{array}{c|ccc}x&\sqrt2&&2\\\hline u&\dfrac{\pi}{4}&&\dfrac{\pi}{2}\end{array}$

Ta được:

$\quad S_2 = \displaystyle\int\limits_{\tfrac{\pi}{4}}^{\tfrac{\pi}{2}}\sqrt{4\cos^2u}.2\cos udu$

$\Leftrightarrow S_2 = 4\displaystyle\int\limits_{\tfrac{\pi}{4}}^{\tfrac{\pi}{2}}\cos^2udu$

$\Leftrightarrow S_2 = 2\displaystyle\int\limits_{\tfrac{\pi}{4}}^{\tfrac{\pi}{2}}\cos2udu + 2\displaystyle\int\limits_{\tfrac{\pi}{4}}^{\tfrac{\pi}{2}}1du$

$\Leftrightarrow S_2 = \sin2u\Bigg|_{\tfrac{\pi}{4}}^{\tfrac{\pi}{2}} + 2u\Bigg|_{\tfrac{\pi}{4}}^{\tfrac{\pi}{2}}$

$\Leftrightarrow S_2 = \dfrac{\pi}{2} - 1$

$+)$ Diện tích phần tô đậm:

$\quad S = S_1 - S_2 = 1 - \left(\dfrac{\pi}{2} - 1\right) = 2- \dfrac{\pi}{2}$