$\\$

`a,`

Có : $DE//BC$ (gt)

`-> BDEC` là hình thang ($DE//BC$)

Mà `hat{B}=hat{C}`

`->BDEC` là hình thang cân

$\\$

`b,`

Giả sử `BD=DE=CE`

Có : `DE=CE` (giả sử)

`-> ΔDEC` cân tại `E`

`->hat{EDC}=hat{ECD}`

Do $DE//BC$ (gt)

`->hat{EDC}=hat{DCB}` (2 góc so le trong)

Mà `hat{EDC}=hat{ECD}` (cmt)

`-> hat{ECD}=hat{DCB}(=hat{EDC})`

`->CD` là tia phân giác của `hat{C}`

Vậy `CD` là tia phân giác của `hat{C}` thì `BD=DE=EC`

$\\$

`c,`

Gọi `G` là giao của `CD` và `BE` (1)

Có : $BDEC$ là hình thang ($DE//BC$) mà `hat{B}=hat{C}` (Do `ΔABC` cân tại `A`)

`->BDEC` là hình thang cân ($DE//BC$)

`->BD=EC` (2 cạnh bên)

Có : `BD+AD=AB, CE+AE=AC`

Mà `BD=EC` (cmt) và `AB=AC` (Do `ΔABC` cân tại `A`)

`-> AD=AE`

Xét `ΔABE` và `ΔACD` có :

`AB=AC` (Do `ΔABC` cân tại `A`)

`hat{A}` chung

`AD=AE` (cmt)

`-> ΔABE = ΔACD` (cạnh - góc - cạnh)

`-> hat{B_1}=hat{C_1}` (2 góc tương ứng)

Và `hat{ADC}=hat{AEB}` (2 góc tương ứng)

Có : `hat{ADC}+hat{BDG}=180^o,hat{AEB}+hat{CEG}=180^o`

Mà `hat{ADC}=hat{AEB}` (cmt)

`->hat{BDG}=hat{CEG}`

Xét `ΔBDG` và `ΔCEG` có :

`BD=CE` (cmt)

`hat{B_1}=hat{C_1}` (cmt)

`hat{BDG}=hat{CEG}` (cmt)

`-> ΔBDG = ΔCEG` (góc - cạnh - góc)

`-> BG=CG` (2 cạnh tương ứng)

Xét `ΔAGB` và `ΔAGC` có :

`AB=AC` (Do `ΔABC` cân tại `A`)

`AG` chung

`BG=CG` (cmt)

`-> ΔAGB = ΔAGC` (cạnh - góc - cạnh)

`-> hat{BAG}=hat{CAG}` (2 góc tương ứng)

Hay `AG` là đường phân giác của `hat{A}`

Mà `ΔABC` cân tại `A` (gt)

`->AG` là đường cao

Có : `AH` là đường cao (gt) mà `AG` là đường cao

`-> AG≡AH -> A,G,H` thẳng hàng

Hay `AH` đi qua `G` (2)

Từ (1)(2)

`->AH,BE,CD` đồng quy tại `G`

b,

Giả sử BD=DE=CEBD=DE=CE

Có : DE=CEDE=CE (giả sử)

→ΔDEC→ΔDEC cân tại EE

→ˆEDC=ˆECD→EDC^=ECD^

Do DE//BCDE//BC (gt)

→ˆEDC=ˆDCB→EDC^=DCB^ (2 góc so le trong)

Mà ˆEDC=ˆECDEDC^=ECD^ (cmt)

→ˆECD=ˆDCB(=ˆEDC)→ECD^=DCB^(=EDC^)

→CD→CD là tia phân giác của ˆCC^

Vậy CDCD là tia phân giác của ˆCC^ thì BD=DE=ECBD=DE=EC

(gt)