a) Có: AM là tiếp tuyến của (O) (gt) nên

⇒ OA⊥AM tại A

⇒ Góc MAO = 90 độ

⇒ Tam giác AOM vuông tại A 

    Xét tam giác AOM vuông tại A (cmt) có:

         MO² = AM² + AO² (Định lý Py-ta-go)

         20² = AM² + 15² (Thay số)

         AM² = 175

⇒ AM = 5√7 (cm)

    Có: AM và BM là tiếp tuyến của (O) cawsst nhau tại M (gt) nên:

⇒ AM = MB = 5√7 (cm)

    OM là tia phân giác của góc AOB

    MO là tia phân giác của góc AMB

    Xét tam giác ABC vuông tại A có:

         sin AOM = $\frac{AM}{MO}$ (Tỉ số lượng giác)

         sin AOM = $\frac{5√7}{20}$ (Thay số)

⇒ Góc AOM ≈ 41,41 độ

⇒ Góc AMB = 2.Góc AOM = 2.41,41 độ = 82,82 độ (MO là ti phân giác của góc AMB)

    Xét tam giác ABC vuông tại A, có:

         sin AMO = $\frac{AO}{OM}$ (Tỉ số lượng giác)

         sin AMO = $\frac{15}{20}$ (Thay số)

⇒ Góc AMO ≈ 48,59 độ

⇒ Góc AMB = Góc AMO.2 = 48,59 độ.2 = 97,18 độ (MO là tia phân giác của góc AMB)

b) Gọi H là giao điểm của AB và OM

    Xét tam giác AOH và tam giác BOH, có:

           AO = BO (Đều là bán kính thuộc (O))

           Góc AOH = Góc BOH (OM hay OH là tia phân giác của góc AOB)

           Cạnh OH chung

⇒ Tam giác AOH = Tam giác BOH (c.g.c)

⇒ Góc AHO = Góc BHO (Cặp góc tương ứng)

    Có: Góc AHO + Góc BHO = 180 độ (Tính chất 2 góc kề bù)

           Mà góc AHO = Góc BHO (cmt)

⇒ AB⊥HO tại H hay MO⊥AB tại H

    Có: OM⊥AB tại H (cmt) nên ⇒ H là trung điểm của AB ⇒ AH = HB = $\frac{AB}{2}$ 

    Có: OM⊥AB tại H (ct) hay AH⊥OM tại H ⇒ AH là đường cao trong tam giác AOM

    Xét tam giác AOM vuông tại A, đường cao AH có:

           AO.AM = AH.OM (Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

          15.5√7 = AH.20 (Thay số)

           AH = $\frac{15√7}{4}$ (cm)

⇒ AB = 2.AH = 2.$\frac{15√7}{4}$ = $\frac{15√7}{2}$ (cm)

c) Có: AC là đường kính của (O); OB là bán kính của (O) nên:

⇒ OB = $\frac{AC}{2}$ 

⇒ Tam giác ABC vuông tại B

⇒ AB⊥BC tại B

Mà AB⊥OM tại H (cmb)

⇒ BC//OM (Quan hệ tù vuông góc đến song song)

d) Gọi K là trung điểm của OM

    Có: Tam giác AOM vuông tại A (cma) nên:

⇒ 3 điểm A, O, M thuộc đường tròn đường kính OM (1)

    Có: MB là tiếp tuyến của (O) (gt)

⇒ MB⊥BO tại B

⇒ Góc MBO = 90 độ

⇒ Tam giác MBO vuông tại B

⇒ 3 điểm M, O, B thuộc đường tròn đường kính MO (2)

    Từ (1)(2)⇒ 4 điểm O, A, M, B thuộc đường tròn đường kính OM

                     Mà K là trung điểm của OM (Cách dựng)

⇒ K là tâm đường tròn đường kính OM.