a) Ta có \(\widehat{AKB}=90⁰\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB)

Tứ giác IEKB có:

\(\widehat{AKB}=90⁰=\widehat{EKB}\)

\(\widehat{EIB}=90⁰\)

Có tổng 2 góc đối $\widehat{EKB}+\widehat{EIB}=90⁰+90⁰=180⁰$

`=>` Tứ giác IEKB nội tiếp đường tròn đường kính EB

b) Xét 2 tam giác AME và AKM

\(\widehat{MAE}\) chung

\(\widehat{AME}=\widehat{AKM}\) (góc nội tiếp cùng chắn hai cung AM= AN)

`=>` tam giác AME đồng dạng tam giác AKM (g.g)

$\Rightarrow\dfrac{AM}{AK}=\dfrac{AE}{AM}$ (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)

$\Rightarrow AM^2=AE.AK$

c) Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta ANB\bot N$ đường cao $NI\bot AB$ ta có:

$BI.BA=NB^2$

Và ta có $AE.AK=AM^2=AN^2$ (chứng minh câu b và AM=AN tích chất đường kính và dây cung)

$\Rightarrow AE.AK+BI.BA=AN^2+NB^2=AB^2$ (áp dụng pitago vào tam giác ANB)

$(2R)^2=4R^{2}$

d) $\Delta MIO\bot I$ áp dụng định lý Pitago ta có:

$OI^2+MI^2=OM^2=R^2$

Ta có: $(MI-IO)^2\ge0\Leftrightarrow 2MI^2+2IO^2\ge MI^2+IO^2+2MI.IO=(MI+IO)^2$

$\Rightarrow MI+IO\le\sqrt{2(MI^2+IO^2)}=R\sqrt2$

Chu vi của tam giác $MIO$ là:

$OM+OI+IM\le R+R\sqrt{2}$

Mậy Chu vi $MIO$ lớn nhất là bằng $R(1+\sqrt2)$ khi $MI=IO$ hay I là trung điểm của AO.