`1)` `ABCD` là hình vuông 

`=>\hat{ABD}=\hat{DBC}=\hat{ADB}=\hat{CDB}=45°`

`=>\hat{QBM}=45°`

Vì `\hat{QAM}=\hat{MAN}=45°` (gt)

`=>\hat{QAM}=\hat{QBM}=45°`

`=>2` đỉnh $A;B$ cùng nhìn cạnh $QM$ dưới hai góc bằng nhau

`=>ABMQ` nội tiếp (đpcm)

`=>\hat{QMA}=\hat{QBA}=45°` (cùng chắn cung $QA$)

`=>\hat{QMP}=45°` $(1)$

$\\$

Ta có: `\hat{NDP}=\hat{CDB}=45°`

`=>\hat{NDP}=\hat{NAP}=45°`

`=>2` đỉnh `D;A` cùng nhìn cạnh $NP$ dưới hai góc bằng nhau

`=>APND` nội tiếp 

`=>\hat{ANP}=\hat{ADP}=45°` (cùng chắn cung $AP$)

`=>\hat{QNP}=45°` $(2)$

Từ `(1);(2)=>\hat{QMP}=hat{QNP}=45°`

`=>2` đỉnh $M;N$ cùng nhìn cạnh $QP$ dưới hai góc bằng nhau

`=>MNQP` nội tiếp (đpcm)

$\\$

`2)` Vì $APND$ nội tiếp (câu 1)

`=>\hat{AND}=\hat{APD}` (cùng chắn cung $AD$)

Vì `MNQP` nội tiếp (câu 1)

`=>\hat{APD}=\hat{MNQ}` (góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong đỉnh đối diện)

`=>\hat{AND}=\hat{MNQ}`

`=>\hat{AND}=\hat{ANM}`

Mà tia $NA$ nằm giữa hai tia $ND;NM$

`=>NA` là phân giác của `\hat{DNM}`

$\\$

`3)` $ABMQ$ nội tiếp (câu 1)

`=>\hat{AMQ}=\hat{ABQ}=45°` (cùng chắn cung $AQ$)

$\\$

Xét $∆ANP$ có `\hat{ANP}=\hat{NAP}=45°` 

`=>∆ANP` vuông cân tại $P$

`=>NP`$\perp AM$ tại $P$ $(3)$

$\\$

Xét $∆AMQ$ có `\hat{QAM}=\hat{AMQ}=45°`

`=>∆AMQ` vuông cân tại $Q$

`=>MQ`$\perp AN$ tại $Q$ $(4)$

$\\$

Gọi $H$ là giao điểm của $NP$ và $MQ$

Từ `(3);(4)=>H` là trực tâm $∆AMN$

Gọi $E$ là giao điểm của $AH$ và $MN$

`=>AE`$\perp MN$ $(5)$

$\\$

Xét $∆AEN$ và $∆ADN$ có:

`\qquad \hat{AEN}=\hat{ADN}=90°`

`\qquad AN` là cạnh chung 

`\qquad \hat{ANE}=\hat{AND}` (vì $NA$ là phân giác của `\hat{DNM}`)

`=>∆AEN=∆ADN` (cạnh huyền -góc nhọn)

`=>AE=AD` 

$\\$

Vì hình vuông $ABCD$ cố định 

`=>AD` cố định `=>AE` cố định $(6)$

Từ `(5);(6)=>MN` tiếp xúc với đường tròn tâm $A$ bán kính $AE$ cố định (đpcm)