Sửa đề: $AD$ và $SO$ cắt nhau tại $M$

$\\$

`a)` $SA;SB$ lần lượt là hai tiếp tuyến tại $A;B$ của $(O)$

`=>\hat{SAO}=\hat{SBO}=90°`

`=>\hat{SAO}+\hat{SBO}=90°+90°=180°`

Mà hai góc `\hat{SAO};\hat{SBO}` ở vị trí đối nhau

`=>SAOB` nội tiếp 

`=>4` điểm $S;O;A;B$ cùng thuộc một đường tròn

$\\$

`b)` Xét $∆SAO$ vuông tại $A$

`=>sin\hat{ASO}={AO}/{SO}=R/{2R}=1/ 2`

`=>\hat{A SO}=30°`

$\\$

`\qquad cos\hat{A SO}=cos30°={SA}/{SO}`

`=>SA=SO . cos30°=2R . \sqrt{3}/2=R\sqrt{3}`

$\\$

Vì $SA;SB$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $S$ (`A;B` là hai tiếp điểm)

`=> SO` là phân giác `\hat{ASB}`

`=>\hat{ASB}=2\hat{ASO}=2.30°=60°` $(1)$

$\\$

`\qquad SA=SB` 

`=>∆SAB` cân tại $S$ $(2)$

Từ `(1);(2)=>∆SAB` đều

`=>AB=SA=R\sqrt{3}`

Vậy khi `SO=d=2R` thì $AB=R\sqrt{3}$

$\\$

`c)` Ta có $SA=SB$ (câu b)

`\qquad OA=OB=R`

`=>SO` là đường trung trực của $AB$

`=>SO`$\perp BC$ $(3)$

$\\$

Vì $C$ đối xứng với $B$ qua $O$

`=>O` là trung điểm $BC$ và $BC$ là đường kính của $(O)$

`=>\hat{BAC}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

`=>AC`$\perp AB$ $(4)$

Từ `(3);(4)=>AC`//$SO$ 

`=>\hat{MSD}=\hat{DCA}` (hai góc so le trong)

Ta có:

`\hat{DA S}=\hat{DCA}` (cùng chắn cung $AD$)

`=>\hat{MSD}=\hat{DAS}=\hat{MA S}`

$\\$

Xét $∆MSD$ và $∆MA S$ có:

`\qquad \hat{M}` chung

`\qquad \hat{MSD}=\hat{MA S}` 

`=>∆MSD∽∆MA S` (g-g)

`=>{MS}/{MD}={MA}/{MS}`

`=>SM^2=MD.MA` (đpcm)

$\\$

`d)` $SAOB$ nội tiếp 

`=>\hat{OAB}=\hat{O SB}` (cùng chắn cung $OB$) $(5)$

Ta có: `\hat{MAB}=\hat{DCB}` (cùng chắn cung $BD$) $(6)$

$\\$

Nếu $AOBM$ là hình thoi 

`=>AB` là phân giác `\hat{MAO}`

`=>\hat{MAB}=\hat{OAB}` $(7)$

Từ `(5);(6);(7)=>\hat{OSB}=\hat{DCB}=\hat{SCB}`

$\\$

Xét $∆O SB$ và $∆SCB$ có:

`\qquad \hat{B}` chung

`\qquad \hat{O SB}=\hat{SCB}`

`=>∆O SB∽∆SCB` (g-g)

`=>{SB}/{CB}={OB}/{SB}`

`=>SB^2=CB.OB=2R.R=2R^2`

$\\$

Xét $OSB$ vuông tại $B$

`=>SO^2=SB^2+OB^2` (định lý Pytago)

`=>d^2=2R^2+R^2=3R^2`

`=>d=\sqrt{3R^2}=R\sqrt{3}`

$\\$

Vậy $AOBM$ là hình thoi khi `d=R\sqrt{3}`