Đáp án:

Bài 21: $D.$ Không tồn tại $m$

Bài 22: $C.\ [0;6]$

Giải thích các bước giải:

Bài 21:

$\quad y = f(x) = \dfrac{1}{3}x^3 - \dfrac{1}{2}(2m+1)x^2 + (m^2 + 2)x$

$TXD: D=\Bbb R$

$\quad y' = x^2 - (2m+1)x + m^2 + 2$

Hàm số có hai điểm cực trị $\Leftrightarrow \Delta_{y'} >0$

$\Leftrightarrow (2m+1)^2 - 4(m^2 + 2) >0$

$\Leftrightarrow m > \dfrac74$

Với $x_1,\ x_2$ là hai điểm cực trị

$\Rightarrow x_1,\ x_2$ là nghiệm của phương trình $y' = 0$

Áp dụng định lý Viète ta được:

$\begin{cases}x_1 + x_2 = 2m + 1\\x_1x_2 = m^2 + 2\end{cases}$

Ta có:

$\quad 8(x_1^2 + x_2^2) = 81$

$\Leftrightarrow 8(x_1 + x_2)^2 - 16x_1x_2 = 81$

$\Leftrightarrow 8(2m+1)^2 - 16(m^2 + 2) = 81$

$\Leftrightarrow 16m^2 + 32m - 105 = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m = -\dfrac{15}{4}\quad (l)\\m = \dfrac74\quad (l)\end{array}\right.$

Vậy $m\in \varnothing$

Bài 22:

$\quad y = f(x) = mx^3 + 2mx^2 + (m+2)x - 5$

$TXD: D = \Bbb R$

$\quad y' = 3mx^2 + 4mx + m + 2\qquad (*)$

$+)\quad m = 0$

$(*)\Leftrightarrow y' = 2$

$\Rightarrow$ Hàm số không có cực trị

$+)\quad m\ne 0$

Hàm số không có cực trị khi và chỉ khi

$(*)$ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

$\Leftrightarrow \Delta_{y'}' \leqslant 0$

$\Leftrightarrow 4m^2 - 3m(m+2) \leqslant 0$

$\Leftrightarrow m^2 -6m \leqslant 0$

$\Leftrightarrow 0\leqslant m \leqslant 6$

Vậy $m\in [0;6]$