Đáp án:

Bài 26: $B.\ m = \dfrac23$

Bài 27: $B.\ m = \pm 1$ 

Giải thích các bước giải:

Bài 26:

$\quad y = f(x) = \dfrac{2}{3}x^3 - mx^2 + 2(1 - 3m^2)x + 1$

$TXD: D = \Bbb R$

$\quad y' = 2x^3 - 2mx + 2(1-3m^2)$

Hàm số có cực trị $\Leftrightarrow \Delta_{y'}' >0$

$\Leftrightarrow m^2 - 4(1 - 3m^2) >0$

$\Leftrightarrow 13m^2 - 4>0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m > \dfrac{2}{\sqrt{13}}\\m < - \dfrac{2}{\sqrt{13}}\end{array}\right.$

Với $x_1,\ x_2$ là hai điểm cực trị

$\Rightarrow x_1,\ x_2$ là nghiệm của phương trình $y' = 0$

Áp dụng định lý Viète ta được:

$\begin{cases}x_1 + x_2 = m\\x_1x_2 = 1 - 3m^2\end{cases}$

Ta có:

$\quad 2(x_1 + x_2) + x_1x_2 = 1$

$\Leftrightarrow 2m + 1 - 3m^2 = 1$

$\Leftrightarrow 3m^2 - 2m = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m = 0\qquad (l)\\m = \dfrac23\quad\ (n)\end{array}\right.$

Vậy $m= \dfrac23$

Bài 27:

$\quad y= x^3 - 3mx^2 + 4m^3$

$TXD: D = \Bbb R$

$\quad y' = 3x^2 - 6mx$

$y' = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = 0\\x = 2m\end{array}\right.$

Hàm số có cực trị $\Leftrightarrow 2m \ne 0 \Leftrightarrow m\ne 0$

Khi đó hàm số có hai cực trị $A(0;4m^3);\ B(2m;0)$

$\Rightarrow A\in Oy;\ B\in Ox$

$\Rightarrow \triangle OAB$ vuông tại $O$

$\Rightarrow S_{OAB} = \dfrac12OA.OB$

Ta có:

$\quad S_{OAB} = 4$

$\Leftrightarrow \dfrac12OA.OB = 4$

$\Leftrightarrow \left|\overrightarrow{OA}\right|.\left|\overrightarrow{OB}\right| = 8$

$\Leftrightarrow |4m^3|.|2m| = 8$

$\Leftrightarrow |m^4| = 1$

$\Leftrightarrow m^4 = 1$

$\Leftrightarrow m^2 = 1$

$\Leftrightarrow m = \pm 1$ (nhận)

Vậy $m= \pm 1$

`@Mon`

`\text{ Bài 26}`

`y'=2x^2-2mx+2-6m^2`

\text{ Hàm số có 2 cực trị khi}` `\Delta'_{y'}>0`

`<=>13m^2-4>0`

`<=>|m|>\frac{2}{\sqrt{13}}(\text{ loại ngay đáp án A và C)}`

`\text{ Khi đó:}2(x_{1}+x_{2})+x_{1}x_{2}=1`

`<=>-3m^2+2m=0`

`<=>`\(\left[ \begin{array}{l}m=0\\m=\dfrac{2}{3}\end{array} \right.\) 

`\text{ Kết hợp điều kiện}` `|m|>\frac{2}{\sqrt{13}}` `\text{ ta được}` `m=2/3`

`\text{ Vậy phương án B là phương án hợp lý nhất}`

`\text{ Bài 27:}`

`y=x^3-3mx^2+4m^3`

`<=>y'=3x^2-6mx`

`y'=0<=>` \(\left[ \begin{array}{l}x=0\\x=2m\end{array} \right.\) 

Hàm số cực trị `<=>2m \ne0`

`<=>m\ne0`

Khi đó hàm số có 2 cực trị A(o,4m^3);B(2m;0)

`=>A in Oy; B in Oz`

`=>\triangleOAB` vuông tại O

`=>S_{OAB}=1/2 OA. OB`

`Ta có:`

`S_{OAB}=4`

`<=>1/2 OA.OB=4`

`<=>|\vec{OA}|.|\vec{OB}|=8`

`<=>|4m^3|.|2m|=8`

`<=>|m^4|=1`

`<=>|m^2|=1`

`<=>m=+-1`

`\text{ Vậy phương án B là phương án hợp lý nhất}`