Giải thích các bước giải:

a.Ta có $ABCD$ là hình bình hành

$\to AD//BC, AD=BC$

Vì $M, N$ là trung điểm $CB, AD\to AN//BM, AN=\dfrac12AD=\dfrac12BC=BM$

$\to ABMN$ là hình bình hành

Lại có $AD=2AB\to AB=\dfrac12AD=AN$

$\to ABMN$ là hình thoi

b.Ta có $J$ đối xứng với $A$ qua $B\to BA=BJ$

Do $ABMN$ là hình thoi $\to AB=BM$

$\to BJ=BM$

Lại có $\widehat{MBJ}=180^o-\widehat{ABM}=60^o$

$\to BMJ$ đều

Ta có $\Delta BMJ$ đều $\to\widehat{BJM}=60^o$

Ta có $ANMB$ là hình thoi $\to AB//MN\to AJ//MN$

Mà $\hat A=180^o-\widehat{ABC}=60^o=\widehat{BJM}=\widehat{AJM}$

$\to AJMN$ là hình thang cân

c.Ta có $ANMB$ là hình thoi

$\to NM=NA=ND$

$\to\Delta NMD$ cân tại $N$

Mà $\widehat{NDM}=\widehat{NAB}=60^o\to\Delta MND$ đều

$\to \widehat{DMJ}=\widehat{DMN}+\widehat{NMB}+\widehat{BMJ}=180^o$

$\to D, M, J$ thẳng hàng

Mà $DM=NM=AB=BJ=MJ$

$\to M$ là trung điểm $DJ$

Do $M$ là trung điểm $BC$

$\to DJ\cap BC=M$ là trung điểm mỗi đường

Mặt kahcs $DJ=2DM=2AB=BC\to BDCJ$ là hình chữ nhật

d.Tương tự câu a chứng minh được $MNDC$ là hình thoi

$\to MD$ là phân giác $\widehat{NMC}$

Vì $ANMB$ là hình thoi

$\to MA$ là phân giác $\widehat{BMN}$

Do $\widehat{BMN},\widehat{CMN}$ kề bù

$\to MA\perp MD$

$\to \widehat{AMD}=90^o$