Đáp án+Giải thích các bước giải:

Gọi `P` là trung điểm của `EC` `<=>EP=PC` `(1)`

Vì `ΔABC` cân tại `A` có `AH` là đường cao

`=>AH` đồng thời là đường trung trực 

`<=>HC=HB={BC}/2=18/2=9(cm)`

`<=>H` là trung điểm của `BC`

Xét `ΔBEC` có:
`H` là trung điểm `BC` `(cmt)`

`P` là trung điểm `EC` 

`=>PH` là đường trung bình của `ΔBEC`

`=>PH` // `BE` `(` tính chất `)`

Xét `ΔAHP` có:

`PH` // `IE` `(` Vì `PH` // `BE` `)`

`I` là trung điểm `AH` `(cmt)`

`=>EI` là đường trung bình của `ΔAHP`

`=>` `E` là trung điểm `AP` `(` tính chất `)`

`<=>EA=EP` `(2)`

Từ `(1)` và `(2)` `=>EA=EP=PC`

`<=>AE=1/{2}EC`

Áp dụng định lý `Py-ta-go` cho `ΔAHC` vuông tại `H`:

`AC^2=AH^2+HC^2`

`AC^2=12^2+9^2`

`AC^2=144+81`

`AC^2=225`

`AC=` $\sqrt{225}$ `=15` `(cm)`

`=>` `{(AE+EC=15),(AE=1/{2}EC):}`

`=>` `1/{2}EC+EC=15`

`=>``3/{2}EC=15`

`=>` `{(AE=5),(EC=10):}`

Vậy `AE=5cm`, `EC=10cm`

$\\$

Lấy `N` là trung điểm của `EC`

Do `ΔABC` cân tại `A` (gt)

`AH` là đường cao (gt)

`-> AH` là đường trung tuyến

`-> H` là trung điểm của `BC`

`->CH=1/2 BC=1/2 . 18=9cm`

Xét `ΔBEC` có :

`N` là trung điểm của `EC` (cách kẻ)

`H` là trung điểm của `BC` (cmt)

`-> HN` là đường trung bình của `ΔBEC`

$→ HN//BE$

Hay $HN//IE$

Xét `ΔAHN` có :

`I` là trung điểm của `AH` (gt)

$IE//HN$ (cmt)

`-> E` là trung điểm của `AN`

`-> AE =EN`

Mà `EN=CN` (Do `N` là trung điểm của `EC`)

`-> AE=EN=CN`

`-> AE =1/3 AC`

Áp dụng định lí Pitago cho `ΔAHC` vuông tại `H` có :

`AH^2 +HC^2 = AC^2`

`-> AC^2 = 12^2 + 9^2`

`->AC^2=15^2`

`->AC=15cm`

`->AE = 1/3 . 15 = 5cm`

Do đó : `EC = AC-  AE =15-5=10cm`

Vậy `AE=5cm, EC=10cm`