Đáp án+Giải thích các bước giải:

$a)\Delta OBC, OB=OC$

$\Rightarrow \Delta OBC$ cân tại $O$

$\Rightarrow  \widehat{B_1}=\widehat{C_1}$

$O$ là trọng tâm $\Delta ABC$

$\Rightarrow BO=\dfrac{2}{3}BD, CO=\dfrac{2}{3}CE(D,E$ lần lượt là trung điểm $AC,AB)$

Mà $BO=CO$

$\Rightarrow BD=CE$

Xét $\Delta BEC $ và $\Delta CDB$

$BC:$ chung

$\widehat{B_1}=\widehat{C_1}\\ CE=BD\\ \Rightarrow \Delta BEC = \Delta CDB\\ \Rightarrow \widehat{EBC}=\widehat{DCB}\\ \Leftrightarrow \widehat{ABC}=\widehat{ACB}$

$\Rightarrow \Delta ABC$ vuông cân tại $A$

$\Rightarrow AB=AC,\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=45^\circ$

Xét $\Delta AOB$ và $\Delta AOC$

$AO:$ chung

$AB=AC\\ OB=OC\\ \Rightarrow \Delta AOB = \Delta AOC\\ \Rightarrow \widehat{B_2}=\widehat{C_2}$

Xét $\Delta OMB$ và $\Delta ONC$

$\widehat{OMB}=\widehat{ONC}=90^\circ\\OB=OC\\\widehat{B_2}=\widehat{C_2}\\\Rightarrow \Delta OMB = \Delta ONC\\\Rightarrow OM=ON\\b)ON \perp NC;NI<NC \Rightarrow OI<OC\\c)\Delta OMB = \Delta ONC\\\Rightarrow MB=NC$

Mà $AB=AC$

$\Rightarrow AB-MB=AC-NC\\ \Leftrightarrow AM=AN$

$\Delta AMN$ vuông cân tại $A$

$\Rightarrow \widehat{M_1}=45^\circ=\widehat{ABC}\\ \Rightarrow MN//BC$

$d)AO$ cắt $BC$ tại $F$

$\Rightarrow F$ là trung điểm $BC$

$\Delta ABC$ có $O$ là trọng tâm, trung tuyến $AF$

$\Rightarrow AO=\dfrac{2}{3}AF\\ \Rightarrow AF=\dfrac{3}{2}=AO=\dfrac{9}{2}$

$\Delta ABC$ cân tại $A, AF$ vừa là trung tuyến vừa là đường cao

$\Rightarrow AF \perp BC$

$\Delta AFB$ vuông tại $F$ có $\widehat{ABF}=45^\circ$

$\Rightarrow \Delta ABF$ vuông cân tại $F$

$\Rightarrow BF=AF=\dfrac{9}{2}\\ \Rightarrow BC=2BF=9\\ S_{\Delta ABC}=\dfrac{1}{2}AF.BC=\dfrac{81}{4}$

$MNCB$ có $MN//BC, \widehat{MBC}=\widehat{NCB}$

$\Rightarrow MNCB$ là hình thang cân.