Đáp án+Giải thích các bước giải:

$a)$Xét $\Delta AEC$ và $\Delta ADB$

$\widehat{A}$: chung

$\widehat{AEC}=\widehat{ADB}=90^\circ\\ \Rightarrow \Delta AEC \backsim \Delta ADB\\ \Rightarrow  \widehat{ACE}=\widehat{ABD}(1)$

$BN$ là phân giác $\widehat{ABD}$

$\Rightarrow \widehat{B_1}=\widehat{B_2}=\dfrac{1}{2}\widehat{ABD}(2)$

$CM$ là phân giác $ \widehat{ACE}$

$\Rightarrow \widehat{C_1}=\dfrac{1}{2}\widehat{ACE}(3)\\ (1)(2)(3)\Rightarrow \widehat{B_1}=\widehat{C_1}$

Xét $\Delta BOH$ và $\Delta CDH$

$\widehat{BHO}=\widehat{CHD}(đ đ)\\ \widehat{B_1}=\widehat{C_1}\\ \Rightarrow \Delta BOH \backsim \Delta CDH\\ \Rightarrow \widehat{O_1} = \widehat{CDH}=90^\circ\\ \Leftrightarrow BN \perp CM$

$b)$Xét $\Delta BOH$ và $\Delta BOM$

BO: chung

$\widehat{O_1}=\widehat{O_2}=90^\circ\\ \widehat{B_1}=\widehat{B_2}\\ \Rightarrow \Delta BOH = \Delta BOM\\ \Rightarrow OH = OM$

$\Rightarrow O$ là trung điểm $HM$

Chứng minh tương tự $O$ là trung điểm $KN$

$MNHK$ có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường

$\Rightarrow MNHK$ là hình thoi.