Đáp án:

$V_{S.ABCD} = \dfrac{a^3\sqrt3}{12}$

Giải thích các bước giải:

Gọi $M,\ N$ lần lượt là trung điểm $AB,\ CD$

Ta có:

$\triangle SAB$ đều cạnh $AB = a$

$\Rightarrow SM = \dfrac{a\sqrt3}{2}$

Mặt khác:

$\begin{cases}SA = SB\\MA = MB\\NA = NB\end{cases}$

$\Rightarrow (SMN)\perp AB$

mà $AB\subset (ABCD)$

nên $(SMN)\perp (ABCD)$

Trong $mp(SMN)$ kẻ $SH\perp MN$

Ta được:

$\begin{cases}(SMN)\perp (ABCD)\quad (cmt)\\(SMN)\cap (ABCD) = MN\\SH\perp MN\\SH\subset (SMN)\end{cases}$

$\Rightarrow SH\perp (ABCD)$

Xét $\triangle SMN$ có:

$SM = \dfrac{a\sqrt3}{2}$

$SN = \dfrac12CD = \dfrac a2$

$MN = BC = AD= a$

$\Rightarrow \triangle SMN$ vuông tại $S$

Khi đó:

$SM.SN = SH.MN = 2S_{SMN}$

$\Rightarrow SH =\dfrac{SM.SN}{MN} = \dfrac{\dfrac{a\sqrt3}{2}\cdot \dfrac a2}{a}$

$\Rightarrow SH = \dfrac{a\sqrt3}{4}$

Ta được:

$V_{S.ABCD} = \dfrac13S_{ABCD}.SH = \dfrac13\cdot a^2\cdot \dfrac{a\sqrt3}{4}$

$\Leftrightarrow V_{S.ABCD} = \dfrac{a^3\sqrt3}{12}$