a)

$\widehat{BAI}=\widehat{DAI}$ (phân giác)

$\widehat{BIA}=\widehat{DAI}$ (so le trong)

$\Rightarrow \widehat{BAI}=\widehat{BIA}$

$\Rightarrow \Delta BAI$ cân tại $B$

$\Rightarrow BA=BI$

b)

$\widehat{DCH}=\widehat{BCH}$ (phân giác)

$\widehat{DHC}=\widehat{BCH}$ (so le trong)

$\Rightarrow \widehat{DCH}=\widehat{DHC}$

$\Rightarrow \Delta DCH$ cân tại $D$

$\Rightarrow DC=DH$

Có $BA=BI\,\,,\,\,DC=DH$

Mà $BA=DC$

$\Rightarrow BI=DH$

Mà $BC=DA$

$\Rightarrow CI=AH$

Lại có $CI//AH$

$\Rightarrow AICH$ là hình bình hành

c)

$\Delta BAI$ cân tại $B$ có $BE$ đường cao

$\Rightarrow BE$ cũng là đường trung tuyến

$\Rightarrow E$ là trung điểm $AI$

$\Rightarrow OE$ là đường trung bình $\Delta ACI$

$\Rightarrow OE//AD\Rightarrow ADEO$ là hình thang

d)

$ABCD$ là hình bình hành

Có $O$ trung điểm $AC$ nên $O$ cũng là trung điểm $BD$

$AICH$ là hình bình hành

Có $O$ trung điểm $AC$ nên $O$ cũng là trung điểm $IH$

Do $AICH$ là hình bình hành $\Rightarrow AI//CH$

Mà $BE\bot AI,DF\bot CH\Rightarrow BE//DF$ $\left( 1 \right)$

Xét $\Delta IBE$ vuông tại $E$ và $\Delta HDF$ vuông tại $F$,có:

$IB=HD$(cmt)

$\widehat{BIE}=\widehat{DHF}$ ($AICH$ là hình bình hành)

$\Rightarrow \Delta IBE=\Delta HDF$

$\Rightarrow BE=DF$ $\left( 2 \right)$

$\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$$\Rightarrow BEDF$ là hình bình hành

Có $O$ trung điểm $BD$ nên $O$ cũng là trung điểm $EF$

Vậy $O$ vừa là trung điểm $AC,BD,IH,EF$

$\Rightarrow AC,BD,IH,EF$ đồng quy tại $O$