a)

Có:$AI=\dfrac{1}{2}AB\,\,,\,\,CK=\dfrac{1}{2}CD$

Mà $AB=CD\Rightarrow AI=CK$

Lại có $AI//CK$

$\Rightarrow AICK$ là hình bình hành

b)

$AICK$ là hình bình hành $\Rightarrow AK//IC$

$\Delta DCF$ có $K$ trung điểm $CD$,$KE//CF$

$\Rightarrow E$ trung điểm $DF$ $\Rightarrow DE=EF$

$\Delta ABE$ có $I$ trung điểm $AB$,$IF//AE$

$\Rightarrow F$ trung điểm $BE$ $\Rightarrow EF=FB$

$\Rightarrow DE=EF=FB$

c)

Xét $\Delta DEK$ và $\Delta BFI$, có:

$DE=BF,DK=BI,\widehat{EDK}=\widehat{FBI}$

$\Rightarrow \Delta DEK=\Delta BFI$

$\Rightarrow EK=FI$

Lại có $EK//FI$

$\Rightarrow EIFK$ là hình bình hành

d)

Gọi $O$ là giao điểm $AC,BD$

$\Rightarrow O$ là trung điểm $BD$

$\Rightarrow OD=OB$

Mà $DE=BF$

$\Rightarrow OE=OF$

$\Rightarrow O$ là trung điểm $EF$

$\Rightarrow O$ cũng là trung điểm $IK$

Vậy $O$ là trung điểm $AC,BD,IK$

$\Rightarrow AC,BD,IK$ đồng quy tại $O$