`a)`

Xét `ΔAOD` có:

`AM=MO(g``t)`

`DQ=QO(g``t)`

`⇒MQ` là đường trung bình của `ΔAOD`

`⇒MQ////AD` và `MQ=1/2AD(` tính chất đường trung bình của `Δ)(1)`

Xét `ΔBOC` có:

`BN=NO(g``t)`

`CP=PO(g``t)`

`⇒NP` là đường trung bình của `ΔBOC`

`⇒NP////BC` và `NP=1/2BC(` tính chất đường trung bình của `Δ)(2)`

Vì `ABCD` là hình bình hành`

`⇒AD////BC` và `AD=BC(` tính chất hình bình hành `)(3)`

Từ `(1),(2)` và `(3)⇒MQ////NP` và `MQ=NP`

Xét tứ giác `MNPQ` có:

      `MQ////NP(cmt)`

      `MQ=NP(cmt)`

`⇒` tứ giác `MNPQ` là hình bình hành `(` tứ giác có `2` cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành `)(đpcm)`

`b)`

Vì `ABCD` là hình bình hành`

`⇒OA=OC(` tính chất hình bình hành `)`

    `OB=OD(` tính chất hình bình hành `)`

Ta có:`OB=ON+NB`

          `OD=OQ+QD`

Mà `OB=OD(cmt)`

      `ON=NB(g``t)`

      `OQ=QD(g``t)`

`⇒ON=NB=OQ=QD`

Xét `ΔAOQ` và `ΔCON` có:

         `OA=OC(cmt)`

    `hat{O_1}=hat{O_2}(2` góc đối đỉnh `)`

         `OQ=ON(cmt)`

`⇒ΔAOQ=ΔCON(c.g.c)`

`⇒hat{A_1}=hat{C_1}(2` góc tương ứng `)`

    `AQ=CN(2` cạnh tương ứng `)`

Vì `hat{A_1}=hat{C_1}(cmt)`

Mà `2` góc này nằm ở vị trí so le trong

`⇒AQ////CN`

Xét tứ giác `ANCQ` có:

     `AQ////CN(cmt)`

     `AQ=CN(cmt)`

`⇒` tứ giác `ANCQ` là hình bình hành `(` tứ giác có `2` cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành `)(đpcm)`