Bài `3` `:`

Theo bài toán `,` ta có `:`

`+` `D` là điểm đối xứng với `G` qua `M`

`⇒` `GD` = `2` . `GM`          `(1)`

`+` `G` là trong tâm của `ΔABC`

`⇒` `BG` = `2` . `GM`          `(2)`

Từ `(1)` và `(2)` `⇒` `GD` = `BG`

Ta lại có `:`

`+` `E` là điểm đối xứng với `G` qua `N`

`⇒` `GE` = `2` . `GN`           `(3)`

`+` `G` là trọng tâm của `ΔABC`

`⇒` `CG` = `2` . `GN`          `(4)`

Từ `(3)` và `(4)` ⇒ `GE` = `CG`

Xét tứ giác `BEDC` có `:`

`+` `2` đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường 

`⇒` `BEDC` là hình bình hành 

Xét `ΔCBM` và `ΔBCN` có `:`

`+` `BM` = `CN` 

`+` `BC` chung

`+` `B` = `C` ( vì `ΔABC` cân tại `A` )

`⇒` `ΔCBM` = `ΔBCN` `( c . g . c )`

`→` `GBC` = `GCB` ( `2` góc tương ứng )

Vì `:`  `GBC` = `GCB` `( cmt )`

`⇒` `ΔGBC` cân tại `G`

`→` `BG` = `CG`

`→` `BD` = `CE`

mà `:` `BD` và `CE` là `2` đường chéo của hình bình hành `BDCE` 

`⇒` `BDCE` là hình chữ nhật 

Bài `4` `:`

`a.` Xét tứ giác `ADME` ta có `:`

`+` `A` = `90^o` `(gt)`

`+` MD ⊥ AB      `(gt)`

`⇒` `AEM` = `90^o`

`→` Tứ giác `ADME` là hình chữ nhật ( vì có `3` góc vuông )

Vì `:` `ΔABC` vuông cân tại `A`

`⇒` `B` = `45^o`

`⇒` `∆DBM` vuông cân tại `D`

`⇒` `DM = DB`

Chu vi hình chữ nhật `ADME` bằng `:`

`2 . (AD + DM)` = `2 . ( AD + DB)`

                         = `2 . AB`

                         = `2.4`

                         = `8 (cm)`

`b.` Gọi `H` là trung điểm của `BC`

`⇒` `AH ⊥ BC` (tính chất tam giác cân)

`AM ≥ AH` (dấu `“=”` xảy ra khi `M` trùng với `H`)

Vì `:` tứ giác `ADME` là hình chữ nhật

`⇒` `AM = DE` (tính chất hình chữ nhật)

`→` `DE ≥ AH`

Vậy `DE  = AH` có độ dài nhỏ nhất khi điểm `M` là trung điểm của `BC.`

Vì `:` Hình trên máy tính mình không biết vẽ mong `mod` và chủ `tus` thông cảm 

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Bài 4

 a/ Ta có MD vuông góc AB nên :  góc MDA = 90 độ.

                ME vuông góc AC nên :  góc MEA = 90 độ

                                                              góc A = 90 độ

                ⇒Tứ giác ADME có 3 góc vuông nên ADME là hình chữ nhật

    Ta có Chu vi (ADME) = 2(ME + MD).

    Tam giác MED vuông tại E và có góc C = 45 độ nên ΔMED vuông cân tại E  ⇒ ME = EC

     Tam giác BDM vuông tại D và có góc B = 45 độ nên ΔBDM vuông cân tại D ⇒ DB = DM = AE

      Vậy Chu vi(ADME)   =  2(ME + MD) = 2( EC + AE) = 2.AC = 2. 4cm = 8 cm

b/ Ta có DE = AM (hai đường chéo hcn DAEM bằng nhau) .  Gọi AH đường cao

     ⇒ AM ≥ AH (quan hệ đoạn xiên góc và vuông góc) 

     ⇒ AM ngắn nhất khi AM trùng AH ⇒ AM vuông góc BC ⇔M là trung điểm BC

     ⇒ DE ngắn nhất khi M là trung điểm BC