Đáp án:

$V_{\min} = \dfrac{a^3\sqrt3}{2}$

Giải thích các bước giải:

Gọi $O,\ M$ lần lượt là tâm của đáy và trung điểm $BC$

$\Rightarrow OM = \dfrac13AM$

$\Rightarrow d(O;(SBC)) = \dfrac13d(A;(SBC)) = \dfrac{a}{\sqrt3}$

Ta có:

$\begin{cases}SO\perp BC\\OM\perp BC\end{cases}$

$\Rightarrow BC\perp (SOM)$

Trong $mp(SOM)$ kẻ $OH\perp SM$

$\Rightarrow BC\perp OH$

$\Rightarrow OH\perp (SBC)$

$\Rightarrow OH = d(O;(SBC)) = \dfrac{a}{\sqrt3}$

Đặt $AB = BC = AC = x\ \ (x >0)$

$\Rightarrow OM = \dfrac{x\sqrt3}{6}$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:

$\quad \dfrac{1}{OH^2} = \dfrac{1}{SO^2} + \dfrac{1}{OM^2}$

$\Rightarrow SO = \dfrac{OH.OM}{\sqrt{OM^2 - OH^2}} = \dfrac{\dfrac{a}{\sqrt3}\cdot \dfrac{x\sqrt3}{6}}{\sqrt{\dfrac{x^2}{12} - \dfrac{a^2}{3}}}$

$\Rightarrow SO  =\dfrac{ax\sqrt3}{3\sqrt{x^2 - 4a^2}}$

Ta được:

$\quad V_{S.ABC} = \dfrac13S_{ABC}.SO$

$\Leftrightarrow V_{S.ABC} = \dfrac13\cdot \dfrac{x^2\sqrt3}{4}\cdot \dfrac{ax\sqrt3}{3\sqrt{x^2 - 4a^2}}$

$\Leftrightarrow V_{S.ABC} = \dfrac{ax^3}{12\sqrt{x^2 - 4a^2}}$

Đặt $V = f(x) = \dfrac{ax^3}{12\sqrt{x^2 - 4a^2}}$

$\Rightarrow f'(x) = \dfrac{ax^4 - 6a^3x^2}{6\sqrt{(x^2 - 4a^2)^3}}$

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = 0\\x = \pm a\sqrt6\end{array}\right.$

$\Rightarrow \mathop{\min}\limits_{(0;+\infty)}V = f\left(a\sqrt6\right) = \dfrac{a^3\sqrt3}{2}$

Vậy khối chóp có thể tích nhỏ nhất bằng $\dfrac{a^3\sqrt3}{2}$ khi đáy là tam giác đều cạnh $a\sqrt6$