Đáp án:

$1)\quad V_{ABC.A'B'C'} = \dfrac{a^3\sqrt3}{9}$

$2)\quad d(A'C;BC') =\dfrac{a\sqrt{10}}{10}$

Giải thích các bước giải:

$1)$ Gọi $M$ là trung điểm của $BC$

$\Rightarrow \begin{cases}AM\perp BC\\AM = \dfrac{AB\sqrt3}{2}\end{cases}$

Xét $\triangle A'AB$ và $\triangle A'AC$ có:

$\begin{cases}AA':\ \text{cạnh chung}\\AB = AC\\\widehat{A'AB} = \widehat{A'AC} = 90^\circ\end{cases}$

Do đó $\triangle A'AB = \triangle A'AC\ (c.g.c)$

$\Rightarrow A'B = A'C$

$\Rightarrow \triangle A'BC$ cân tại $A'$

$\Rightarrow A'M\perp BC$

Ta có:

$\begin{cases}(A'BC)\cap (ABC) = BC\\AM\perp BC\quad (cmt)\\AM\subset (ABC)\\A'M\perp BC\quad (cmt)\\A'M\subset (A'BC)\end{cases}$

$\Rightarrow \widehat{((A'BC);(ABC))} = \widehat{A'MA} = 60^\circ$

$\Rightarrow AM = \dfrac{AA'}{\tan\widehat{A'MA}} = \dfrac{a}{\tan60^\circ} = \dfrac{a}{\sqrt3}$

$\Rightarrow AB = \dfrac{2AM}{\sqrt3} = \dfrac{2a}{3}$

$\Rightarrow S_{ABC} = \dfrac{AB^2\sqrt3}{4} = \dfrac{a^2\sqrt3}{9}$

$\Rightarrow V_{ABC.A'B'C'} = S_{ABC}.AA' = \dfrac{a^3\sqrt3}{9}$

$2)$ Trong $mp(ACC'A')$ kẻ $C'D//A'C\quad (D\in AC)$

$\Rightarrow CDC'A'$ là hình bình hành

$\Rightarrow CD = A'C' = AC = AB = BC = \dfrac{2a}{3}$

$\Rightarrow \triangle BCD$ cân tại $C;\ \widehat{BCD} = 120^\circ$

Từ $C$ kẻ $CH\perp BD$

$\Rightarrow \widehat{BCH} = \dfrac12\widehat{BCD} = 60^\circ$

$\Rightarrow CH = BC.\cos\widehat{BCH} = \dfrac{2a}{3}\cdot \cos60^\circ = \dfrac a3$

Ta có:

$\begin{cases}CH\perp BD\quad \text{(cách dựng)}\\CC'\perp BD\quad (CC'\perp (ABD))\end{cases}$

$\Rightarrow BD\perp (C'CH)$

Trong $mp(C'CH)$ kẻ $CK\perp C'H$

$\Rightarrow BD\perp CK$

$\Rightarrow CK\perp (BDC')$

$\Rightarrow CK = d(C;(BDC'))$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:

$\quad \dfrac{1}{CK^2} = \dfrac{1}{CC'^2} + \dfrac{1}{CH^2}$

$\Rightarrow CK = \dfrac{CC'.CH}{\sqrt{CC'^2 + CH^2}} = \dfrac{a\cdot \dfrac{a}{3}}{\sqrt{a^2 + \dfrac{a^2}{9}}}$

$\Rightarrow CK = \dfrac{a\sqrt{10}}{10}$

Mặt khác:

$A'C//C'D\quad \text{(cách dựng)}$

$\Rightarrow A'C//(BDC')$

mà $BC'\subset (BDC')$

nên $d(A'C;BC') = d(A'C;(BDC')) = d(C;(BDC')) = CK = \dfrac{a\sqrt{10}}{10}$

Vậy $d(A'C;BC') =\dfrac{a\sqrt{10}}{10}$