`a,` Gọi tâm đường tròn đường kính `CD` là `O`

`ΔABC` vuông tại `A` $(gt)$ `⇒\hat{BAC}=90^o` Hay `\hat{BAD}=90^o`

Xét `(O)`, đường kính `CD` có: `F\in(O)` $(gt)$

`⇒\hat{DFC}=90^o` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Hay `\hat{BFC}=90^o`

Xét tứ giác `AFCB` có: `\hat{BAC}=\hat{BFC}=90^o`

Tứ giác có hai đỉnh `A` và `F` cùng nhìn `BC` dưới một góc vuông

`⇒` Tứ giác `AFCB` nội tiếp đường tròn đường kính `BC`

Tâm của đường tròn này là trung điểm của `BC`

`b,` Xét `(O)`,đường kính `CD` có: `E\in(O)` $(gt)$

`⇒\hat{CED}=90^o` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

`⇒DE\botBC`

`⇒\hat{BED}=90^o`

Xét tứ giác `ABED` có: `\hat{BAD}+\hat{BED}=90^o``+90^o=180^o`

Mà hai góc này ở vị trí đối nhau

`⇒` Tứ giác `ABED` nội tiếp đường tròn đường kính `BD`

`⇒\hat{ABD}=\hat{AED}` (hai góc nội tiếp cùng chắn $\mathop{AD}\limits^{\displaystyle\frown}$)

Hay `\hat{ABF}=\hat{AED}`

Xét `(O)` có: `D,E,G,F\in(O)`

`⇒` Tứ giác `DEGF` nội tiếp `(O)`

`⇒\hat{DFG}+\hat{DEG}=180^o` (tổng hai góc đối trong tứ giác nội tiếp)

Mà `\hat{AED}+\hat{DEG}=180^o` (hai góc kề bù)

`⇒\hat{DFG}=\hat{AED}`

Mà `\hat{ABF}=\hat{AED}` (cmt)`

`⇒\hat{ABF}=\hat{DFG}`

Mà hai góc này ở vị trí so le trong do `BF` cắt `AB` và `GF`

`⇒GF`$//$`AB`

`c,` Tứ giác `AFCB` nội tiếp đường tròn đường kính `BC` `(cmt)`

`⇒\hat{ACB}=\hat{AFB}` (hai góc nội tiếp cùng chắn $\mathop{AB}\limits^{\displaystyle\frown}$)

Hay `\hat{ACB}=\hat{HFD}`

Xét `(O)` có:

`\hat{HCD}=1/2sđ` $\mathop{HD}\limits^{\displaystyle\frown}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn $\mathop{HD}\limits^{\displaystyle\frown}$)

`\hat{HFD}=1/2sđ` $\mathop{HD}\limits^{\displaystyle\frown}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn $\mathop{HD}\limits^{\displaystyle\frown}$)

`⇒\hat{HCD}=\hat{HFD}`

Hay `\hat{HCA}=\hat{HFD}`

Mà `\hat{ACB}=\hat{HFD}` `(cmt)`

`⇒\hat{HCA}=\hat{ACB}`

`⇒CA` là phân giác `\hat{HCB}`