Lấy `E∈HD` sao cho `E` là trung điểm của `HD`

Xét `ΔCDH` có:

`HM=CM(g``t)`

`HE=DE(g``t)`

`⇒EM` là đường trung bình của `Δ`

`⇒EM////DC` và `EM=1/2DC(` tính chất đường trung bình của `Δ)`

Vì `EM////DC(cmt)`

Mà `AD⊥DC(g``t)`

`⇒EM⊥AD`

Xét `ADM` có:

`DH⊥AM(g``t)`

`EM⊥AD(cmt)`

`DH∩EM={E}`

`⇒E` là trực tâm của `ΔADM`

`⇒AE⊥MD(1)`

Ta có:`DC=2AB(g``t)`

`⇒AB=1/2DC`

Mà `EM=1/2DC(cmt)`

`⇒AB=EM`

Vì `ABCD` là hình thang vuông

`⇒AB////DC(` tính chất hình thang vuông `)`

Mà `EM////DC(cmt)`

`⇒AB////EM`

Xét tứ giác `ABME` có:

       `AB=EM(cmt)`

       `AB////EM(cmt)`

`⇒` tứ giác `ABME` là hình bình hành `(` tứ giác có `2` cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành `)`

`⇒AE////BM(` tính chất hình bình hành `)(2)`

Từ `(1)` và `(2)⇒BM⊥MD(đpcm)`

Gọi N là trung điểm của HD .

Ta có : MN là đường trung bình của tam giác HDC 

⇒ MN // DC 

và MN = `1/2` . DC ( tính chất ĐTB )

Ta lại có : 

AB // DC 

AB = MN

⇒ ABMN là HBH 

⇒ AN // BM       ( 1 )

Xét tam giác ADM có :

DH ⊥ AM

MN ⊥ AD

⇒ AN // DM      ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 )

⇒ BM ⊥ DM