Bài toán:

Trong một cuộc điều tra ngẫu nhiên về độ tuổi của 100 thành viên của trang web hoidap247.com, ta được bảng số liệu sau:

$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline
\text{Độ tuổi}&6-10&11-14&15-17\\\hline
\text{Số thành viên}&10&60&30\\\hline
\end{array}$$

Biết rằng độ tuổi là biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật phân phối chuẩn

a) Tính trung bình mẫu và độ lệch chuẩn mẫu.

b) Hãy ước lượng độ tuổi trung bình của các thành viên với mức ý nghĩa $5\%$

c) Với độ tin cậy $97\%$, hãy ước lượng tỉ lệ thành viên là học sinh trung học phổ thông. Biết rằng học sinh học trung học phổ thông ở độ tuổi từ $15$ đến $17$ tuổi.

d) Có ý kiến cho rằng độ tuổi trung bình của các thành viên là `13` tuổi, hãy kết luận ý kiến này với mức ý nghĩa $5\%$

e) Tỉ lệ thành viên là học sinh trung học phổ thông trước đây là $35\%$. Sang năm học mới, một số thành viên lớp `12` đỗ đại học và một số thành viên lớp `9` hoàn thành chuyển cấp lên lớp `10`. Giả sử các số liệu trên được thu thập vào năm học mới. Hãy đánh giá tỉ lệ thành viên là học sinh trung học phổ thông năm nay so với năm trước, với mức ý nghĩa $3\%$

f) Người ta cũng làm một cuộc điều tra tương tự trên trang web tuyensinh247.com và thu được kết quả sau:

$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline
\text{Độ tuổi}&6-10&11-14&15-17\\\hline
\text{Số thành viên}&30&70&100\\\hline
\end{array}$$

Hãy so sánh tỉ lệ thành viên là học sinh trung học phổ thông của hai trang web này, với mức ý nghĩa $5\%$

Bài giải:

a) Trung bình mẫu:

$\overline{x} = \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum\limits_{i=1}^kn_ix_i = 13,1$

Phương sai mẫu:

$s^2 = \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum\limits_{i=1}^kn_i(x_i - \overline{x})^2 = 5,34$

Độ lệch chuẩn mẫu:

$s = \sqrt{s^2} = 2,3108$

b) Ta có:

Cỡ mẫu: $n = 100$

Trung bình mẫu: $\overline{x} = 13,1$

Độ lệch chuẩn mẫu hiệu chỉnh: $\hat{s} = 2,3225$

$\alpha = 0,05 \Rightarrow Z_{\tfrac{\alpha}{2}} = \varphi^{-1}(0,475) = 1,96$

Ta được:

$\varepsilon = Z_{\tfrac{\alpha}{2}}\cdot \dfrac{\hat{s}}{\sqrt{n}} = 1,96\cdot \dfrac{2,3225}{\sqrt{100}} = 0,45521$

Gọi $\mu$ là độ tuổi trung bình của các thành viên hoidap247.com

Khoảng ước lượng độ tuổi trung bình của các thành viên hoidap247.com là:

$\mu \in (\overline{x} - \varepsilon;\overline{x} + \varepsilon) = (12,64479;13,55521)$

Vậy độ tuổi trung bình của các thành viên hoidap247.com khoảng từ $12,64479$ tuổi đến $13,55521$ tuổi

c) Ta có:

Tỉ lệ thành viên là học sinh trung học phổ thông: $f =\dfrac{30}{100} = \dfrac{3}{10}$

$1 - \alpha = 0,97 \Rightarrow Z_{\tfrac{\alpha}{2}} = \varphi^{-1}(0,485) = 2,17$

Ta được:

$\varepsilon = Z_{\tfrac{\alpha}{2}}\cdot \sqrt{\dfrac{f(1 - f)}{n}} = 2,17\cdot \sqrt{\dfrac{\dfrac{3}{10}\cdot \dfrac{7}{10}}{100}} = 0,09944$

Gọi $p$ là tỉ lệ thành viên là học sinh trung học phổ thông

Khoảng ước lượng tỉ lệ thành viên là học sinh trung học phổ thông là:

$p\in (f - \varepsilon;f + \varepsilon) = (0,20056;0,39944)$

Vậy thành viên là học sinh trung học phổ thông khoảng từ $20,056\%$ đến $39,944\%$

d) Gọi $\mu$ là độ tuổi trung bình của các thành viên hoidap247.com

Giả thuyết kiểm định:

$\begin{cases}H_o: \mu = 13\\H_1: \mu \ne 13\end{cases}$

Giá trị kiểm định:

$T = \dfrac{(\overline{x} - \mu_o)\sqrt{n}}{\hat{s}} = 0,43057$

Ta có:

$\alpha = 0,03 \Rightarrow Z_{\tfrac{\alpha}{2}}=\varphi^{-1}(0,475) = 1,96$

Do $|T| < Z_{\tfrac{\alpha}{2}}$ nên chấp nhận giả thuyết $H_o$

Vậy với mức ý nghĩa $5\%$, độ tuổi trung bình của các thành viên là $13$ tuổi.

e) Gọi $p$ là tỉ lệ thành viên là học sinh trung học phổ thông

Giả thuyết kiểm định:

$\begin{cases}H_o: p = 0,35\\H_1: p \ne 0,35\end{cases}$

Giá trị kiểm định:

$Z = \dfrac{(f - p_o)\sqrt{n}}{\sqrt{p_o(1-p_o)}} = \dfrac{(0,3 - 0,35)\sqrt{100}}{\sqrt{0,35.0,65}} = -1,04828$

Ta có:

$1 - \alpha = 0,97 \Rightarrow Z_{\tfrac{\alpha}{2}} = \varphi^{-1}(0,485) = 2,17$

Do $|Z| < Z_{\tfrac{\alpha}{2}}$ nên chấp nhận giả thuyết $H_o$

Vậy với mức ý nghĩa $3\%$, có thể cho rằng tỉ lệ thành viên là học sinh trung học phổ thông năm nay bằng năm trước

f) Gọi $p_X;\ p_Y$ lần lượt là tỉ lệ thành viên là học sinh trung học phổ thông của trang web hoidap247.com và tuyensinh247.com

Giả thuyết kiểm định:

$\begin{cases}H_o: p_X - p_Y = 0\\H_1: p_x - p_Y \ne 0\end{cases}$

Tỉ lệ thành viên là học sinh trung học phổ thông chung cho cả hai trang web hoidap247.com và tuyensinh247.com:

$p_o = \dfrac{m_X + m_Y}{n_X + n_Y} = \dfrac{30 + 100}{100 + 200} = \dfrac{13}{30}$

Giá trị kiểm định:

$Z = \dfrac{f_X - f_Y}{\sqrt{p_o(1-p_o)\left(\dfrac{1}{n_X} + \dfrac{1}{n_Y}\right)}}$

$\quad =\dfrac{\dfrac{3}{10} - \dfrac{1}{2}}{\sqrt{\dfrac{13}{30}\cdot \dfrac{17}{30}\cdot \left(\dfrac{1}{100} + \dfrac{1}{200}\right)}}=-3,2954$

Ta có:

$\alpha = 0,05 \Rightarrow Z_{\tfrac{\alpha}{2}} = \varphi^{-1}(0,475) = 1,96$

Do $|Z| > Z_{\tfrac{\alpha}{2}}$ nên bác bỏ giá thuyết $H_o$, chấp nhận $H_1$

Bên cạnh đó:

$f_X = \dfrac{3}{10} < f_Y = \dfrac{1}{2} \Rightarrow p_X < p_Y$

nên tỉ lệ thành viên là học sinh trung học phổ thông của trang web tuyensinh247.com lớn hơn trang web hoidap247.com