1) Xét $\triangle$DAB và $\triangle$DEB có:

$\widehat{DAB}$ = $\widehat{DEB}$ = $90^o$ ( vì $\triangle$ABC vuông taih A, DE $\bot$ BC)

$\widehat{DBA}$ = $\widehat{DBE}$ ( vì BD là phân giác $\widehat{ABC}$)

BD chung

$\Rightarrow$ $\triangle$DAB = $\triangle$DEB

$\Rightarrow$ BA =BE (2 cạnh tương ứng )

$\Rightarrow$ $\triangle$BAE cân tại B

2) Ta có $\triangle$DAB = $\triangle$DEB ( cmt)

$\Rightarrow$ DE = DA (1) (2 cạnh tương ứng)

Ta có $\triangle$DAF vuông tại F

$\Rightarrow$ DF > DA (2) (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ DF > DE

3) $\triangle$BCF có CA và FE là 2 đường cao cắt nhau tại D

$\Rightarrow$ D là trực tâm của $\triangle$BCF

$\Rightarrow$ BH $\bot$ CF

$\triangle$BCF có BH vừa là đường cao vừa là đường phân giác

$\Rightarrow$ $\triangle$BCF cân tại B và BH cũng là đường trung tuyến 

Xét $\triangle$CFK có:

CD là trung tuyến ( vì DF = DK nên D là trung điểm của FK)

CI = $\frac{2}{3}$ CD (vì CI=2DI nên$\frac{CI}{CD}$=$\frac{CI}{CI+DI}$=$\frac{2DI}{2DI+DI}$

=$\frac{2DI}{3DI}$ =$\frac{2}{3}$)

$\Rightarrow$ I là trọng tâm của $\triangle$CFK

$\Rightarrow$ KI đi qua trung điểm của CF

Mà H là trung điêm của KF (vì BH là đường trung tuyến $\triangle$BCF)

Vậy K, I, H thẳng hàng