`a)` Để đường thẳng `(d): y=(m-1)x+m+1` đi qua gốc tọa độ `O(0;0)`

`=>0=(m-1).0+m+1`

`=>m=-1`

_____________

`b)` Để đường thẳng `(d): y=(m-1)x+m+1` cắt trục tung tại điểm có tung độ là `-1`

`=>x=0;y=-1`

`=>(m-1).0+m+1=-1`

`=>m=-2`

_____________

`c)` Để đường thẳng `(d): y=(m-1)x+m+1` song song với đường thẳng `y=  \sqrt{3}. x +2`

`=>`$\begin{cases}a=a'\\b\ne b'\end{cases}$

`=>`$\begin{cases}m-1=\sqrt{3}\\m+1\ne 2\end{cases}$

`=>`$\begin{cases}m=\sqrt{3}+1\ (thỏa\ mãn)\\m\ne 1\end{cases}$

Vậy `m=\sqrt{3}+1` thỏa mãn đề bài 

_____________

`d)` Gọi `M(x_0;y_ 0)` là điểm cố định mà đường thẳng `(d): y=(m-1)x+m+1` luôn đi qua 

`=>y_0=(m-1)x_0+m+1` với mọi `m`

`=>mx_0-x_0+m+1-y_0=0` với mọi `m`

`=>m(x_0+1)+1-x_0-y_0=0` với mọi `m`

`=>`$\begin{cases}x_0+1=0\\1-x_0-y_0=0\end{cases}$`=>`$\begin{cases}x_0=-1\\y_0=1-x_0=2\end{cases}$

`=>M(-1;2)`

Vậy `(d): y=(m-1)x+m+1` luôn đi qua điểm cố định `M(-1;2)` với mọi `m\in RR`