`a)` Xét `ΔAMB` và `ΔNMC` có:

`AM = MN` (Do `M` là trung điểm của `AC`)

`∠AMB = ∠NMC` (`2` góc đối đỉnh)

`BM = MC` (gt)

`⇒ ΔAMB = ΔNMC` `(c . g . c)`

`b)` Vì `ΔAMB = ΔNMC` (theo câu a)

`⇒ ∠ABM = ∠NCM` (`2` góc tương ứng)

Hay `∠ABC = ∠BCN`.

Mà `2` góc này ở vị trí so le trong.

`⇒ AB // CN`.

`⇒ ∠ADC = ∠DCN = 90` (`2` góc so le trong)

`c)` `∠ABI` có `BI` là đường cao đồng thời cũng là đường trung tuyến.

`⇒ ΔABI` cân tại `B`.

`⇒ AB = BI`. `(1)`

Vì `ΔAMB = ΔNMC` (câu a)

`⇒ AB = CN` (`2` cạnh tương ứng) `(2)`

Từ `(1)` và `(2)` suy ra `BI = CN`.

a) Xét ∆ABM và ∆CMN ta có : 

AM = MN 

BM = MC 

AMB = CMN ( đối đỉnh) 

=> ∆ABM = ∆CMN (c.g.c)

b) Vì ∆ABM = ∆CMN (cmt) 

=> ABM = NCM 

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong 

=> AB //NC 

=> DB // NC 

Ta có : BDC + DCN = 180° ( kề bù) 

=> DCN = 90° 

c) Xét ∆ vuông ABH và ∆vuông IHB ta có : 

AH = HI 

BH chung

=> ∆ABH = ∆IHB ( 2 cạnh góc vuông) 

=> BA = BI 

Mà AB = CN (cmt)

=> BI = CN ( cùng bằng BA)