`a,` Có:

`EF^2=10^2=100` 

`DE^2+DF^2=6^2+8^2=36+64=100`

`⇒EF^2=DE^2+DF^2`

`⇒ΔDEF` vuông tại `D` (Định lý Pytago đảo)

`b,` `DK\botEF` $(gt)$ `⇒\hat{DKE}=\hat{DKF}=90^o`

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong `ΔDEF` vuông tại `D` `(cmt),DK\botEF` $(gt)$ có: 

`-DK.EF=DE.DF`

Hay `DK.10=6.8`

`⇔DK.10=48`

`⇔DK=4,8` `(cm)`

`-DF^2=FK.FE`

Hay `8^2=FK.10`

`⇔64=FK.10`

`⇔FK=6,4` `(cm)`

`c,` `EF=EK+KF`

`⇒EK=EF-KF=10-6,4=3,6` `(cm)`

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong `ΔDKE` vuông tại `K` `(\hat{DKE}=90^o)` có: 

`sinE={DK}/{DE}={4,8}/{6}={4}/{5}`

`⇒\hat{E}~~53^o`

Xét `ΔEDK` vuông tại `K` `(\hat{DKE}=90^o)` có: 

`\hat{D}+\hat{E}=90^o` (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)

Hay `\hat{D}+53^o=90^o`

`⇔\hat{D}=37^o`

`d,` `ΔDEF` vuông tại `D` $(gt)$ `⇒\hat{EDF}=90^o` Hay `\hat{EDM}=90^o`

Xét `ΔDEF` có: `EM` là phân giác `\hat{DEF}`

`⇒{DM}/{MF}={ED}/{EF}` (tính chất tia phân giác trong tam giác)

`⇒{DM}/{DE}={MF}/{EF}`

Hay `{DM}/{6}={MF}/{10}`

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau có:

`{DM}/{6}={MF}/{10}={DM+MF}/{6+10}={DF}/{16}=8/16=1/2`

`{DM}/{6}=1/2⇒DM=6/2=3` `(cm)`

`{MF}/{10}=1/2⇒MF=10/2=5` `(cm)`

Áp dụng định lý Pytago trong `ΔDEM` vuông tại `D` `(\hat{EDM}=90^o)` có:

`EM^2=DE^2+DM^2`

Hay `EM^2=6^2+3^2`

`⇒EM^2=36+9`

`⇒EM^2=45`

`⇒EM=3\sqrt{5}` `(cm)` (vì `EM>0)`