`a)` Ta có:

`\qquad \hat{ACB}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

`=>\hat{MCN}=90°`

$\\$

Vì $AH\perp OD$ tại $H$ (gt)

`=>AE`$\perp OD$ $\quad (1)$

`=>\hat{DHN}=90°`

`=>\hat{MCN}+\hat{DHN}=90°+90°=180°`

Mà `\hat{MCN};\hat{DHN}` ở vị trí đối nhau

`=>MCNH` nội tiếp (đpcm)

$\\$

`b)` Ta có:

`\hat{AEB}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

`=>AE`$\perp BE$ $\quad (2)$

Từ `(1);(2)=>OD`//$BE$

`=>\hat{CDK}=\hat{CBE}` (hai góc so le trong)

$\\$

Xét $∆CDK$ và $∆CBE$ có:

`\qquad \hat{CDK}=\hat{CBE}` (c/m trên)

`\qquad CD=CB` (gt)

`\qquad \hat{DCK}=\hat{BCE}` (hai góc đối đỉnh)

`=>∆CDK=∆CBE` (g-c-g)

`=>CK=CE`

Mà $K;C;E$ thẳng hàng 

`=>C` là trung điểm $KE$ (đpcm)

$\\$

`c)` Vì $C$ là điểm chính giữa cung $AB$ (gt)

`=>sđ\stackrel\frown{AC}=1/2 sđ\stackrel\frown{AB}=1/ 2 .180°=90°`

`\qquad \hat{CBA}= \hat{AEC}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{AC}=1/2. 90°=45°` (góc nội tiếp chắn cung $AC$)

`=>\hat{HEK}=45°`

Xét $∆EHK$ vuông tại $H$ có `\hat{HEK}=45°`

`=>∆EHK` vuông cân tại $H$ (đpcm)

$\\$

Vì $C$ là trung điểm $KE$ (câu b)

`=>HC` là trung tuyến $∆EHK$ vuông cân tại $H$

`=>HC` đồng thời là phân giác `\hat{KHE}`

`=>\hat{CHK}=\hat{KHE}/2={90°}/2=45°`

$\\$

Tứ giác $MCNH$ nội tiếp (câu a)

`=>\hat{CNM}=\hat{CHM}=45°` (cùng chắn cung $CM$)

Vì `\hat{CBA}=45°` (c/m trên)

`=>\hat{CNM}=\hat{CBA}`

Mà hai góc `\hat{CNM};\hat{CBA}` ở vị trí đồng vị 

`=>MN`//$AB$ (đpcm)