Đáp án + giải thích các bước giải:

Câu 1:

`1,` `{1}/{\sqrt{8}+\sqrt{7}}+\sqrt{175}+\root[3]{-8}\sqrt{2}` 

`={\sqrt{8}-\sqrt{7}}/{(\sqrt{8}+\sqrt{7})(\sqrt{8}-\sqrt{7})}+5\sqrt{7}+(-2).\sqrt{2}` 

`={\sqrt{8}-\sqrt{7}}/{8-7}+5\sqrt{7}-2\sqrt{2}` 

`={\sqrt{8}-\sqrt{7}}/{1}+5\sqrt{7}-2\sqrt{2}` 

`=\sqrt{8}-\sqrt{7}+5\sqrt{7}-2\sqrt{2}` 

`=2\sqrt{2}-\sqrt{7}+5\sqrt{7}-2\sqrt{2}` 

`=4\sqrt{7}`

`2,` `a+\sqrt{a}-6=a+3\sqrt{a}-2\sqrt{a}-6=\sqrt{a}(\sqrt{a}+3)-2(\sqrt{a}+3)=(\sqrt{a}+3)(\sqrt{a}-2)`

`ĐKXĐ:a\ge0,a\ne4`

`{\sqrt{a}+2}/{\sqrt{a}+3}-{5}/{a+\sqrt{a}-6}+{1}/{2-\sqrt{a}}`

`={\sqrt{a}+2}/{\sqrt{a}+3}-{5}/{(\sqrt{a}+3)(\sqrt{a}-2)}-{1}/{\sqrt{a}-2}`

`={(\sqrt{a}+2)(\sqrt{a}-2)}/{(\sqrt{a}+3)(\sqrt{a}-2)}-{5}/{(\sqrt{a}+3)(\sqrt{a}-2)}-{\sqrt{a}+3}/{(\sqrt{a}+3)(\sqrt{a}-2)}`

`={(\sqrt{a}+2)(\sqrt{a}-2)-5-(\sqrt{a}+3)}/{(\sqrt{a}+3)(\sqrt{a}-2)}`

`={a-4-5-\sqrt{a}-3}/{(\sqrt{a}+3)(\sqrt{a}-2)}`

`={a-\sqrt{a}-12}/{(\sqrt{a}+3)(\sqrt{a}-2)}`

`={a-4\sqrt{a}+3\sqrt{a}-12}/{(\sqrt{a}+3)(\sqrt{a}-2)}`

`={\sqrt{a}(\sqrt{a}-4)+3(\sqrt{a}-4)}/{(\sqrt{a}+3)(\sqrt{a}-2)}`

`={(\sqrt{a}+3)(\sqrt{a}-4)}/{(\sqrt{a}+3)(\sqrt{a}-2)}`

`={\sqrt{a}-4}/{\sqrt{a}-2}`

Vậy với `a\ge0,a\ne4` thì `{\sqrt{a}+2}/{\sqrt{a}+3}-{5}/{a+\sqrt{a}-6}+{1}/{2-\sqrt{a}}={\sqrt{a}-4}/{\sqrt{a}-2}`

Câu 2: Xét phương trình `x^2-(2m+5)x+2m+1=0` 

`1,` Thay `m=-1` vào phương trình có:

`x^2-[2.(-1)+5]x+2.(-1)+1=0` 

`⇔x^2-(-2+5)x+(-2)+1=0` 

`⇔x^2-3x-1=0` 

`⇔x^2-3x+9/4-13/4=0` 

`⇔x^2-3x+9/4=13/4` 

`⇔(x-3/2)^2=13/4` 

⇔\(\left[ \begin{array}{l}x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{13}}{2}\\x-\frac{3}{2}=\frac{-\sqrt{13}}{2}\end{array} \right.\)

⇔\(\left[ \begin{array}{l}x=\frac{\sqrt{13}+3}{2}\\x=\frac{-\sqrt{13}+3}{2}\end{array} \right.\)

Vậy với `m=-1` thì tập nghiệm của phương trình là `S={{\sqrt{13}+3}/{2},{-\sqrt{13}+3}/{2}}` 

`2,` Có `Δ=[-(2m+5)]^2-4(2m+1)`

`=(2m+5)^2-8m-8`

`=4m^2+20m+25-8m-8`

`=4m^2+12m+17`

`=4m^2+12m+9+8`

`=(2m+3)^2+8\geq8>0` với mọi `m`

`⇒` Phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi m

Với `x_1,x_2` là nghiệm của phương trình. Theo Viét có:

`{(x_1+x_2=2m+5),(x_1x_2=2m+1):}(I)`

Theo bài ra có: `P=|x_1-x_2|`

`⇒P^2=(|x_1-x_2|)^2`

`=(x_1-x_2)^2`

`=x_1^2-2x_1x_2+x_2^2`

`=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-4x_1x_2`

`=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2`

Thay `(I)` vào `P^2` có:

`P^2=(2m+5)^2-4.(2m+1)`

`=4m^2+20m+25-8m-4`

`=4m^2+12m+21`

`=4m^2+12m+9+12`

`=(2m+3)^2+12`

`(2m+3)^2\ge0` với mọi `m`

`⇒P^2\ge12` với mọi `m`

`⇒P\ge\sqrt{12}=2\sqrt{3}` với mọi `m`

Dấu "=" xảy ra`⇔2m+3=0`

`⇔2m=-3`

`⇔m=-3/2`

Vậy $MinP$`=2\sqrt{3}` khi `m=-3/2`