Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 a. Từ A  vẽ đường //BC cắt CD tại K --> ABCK là hình  bình hành --> AK = BC

     Từ M vẽ đường // DC cắt AK tại H. Áp  dụng Ta lét trong tgDAK có MH // DK nên theo Ta lét ta có :

     AM/AD = AH/AK = 1/3 Và BN/BC = 1/3 --> AH/AK = BN/BC = 1/3 --> AH = BN (vì mẫu AK = BC)

--> AH //BN (vì AK //BC) và AH = BN --> ABNH là hình bình hành --> AB // HN --> CD // HN và MH // CD  nên M, H, N thằng hàng --> MN // CD --> MN // AB  (đpcm)

AM/AD = 1/3 --> AM/MD = 1/2 và E trung điểm MD nên MD = =2EM vậy AM = ME = ED. Tương tự BN = NF =   FC

Ta có MNCD là hình thang và EF đường trung bình --> AB // MN // EF // CD

Trong hình thang ABFE có MN đường trung bình nên MN = (AB + EF)/2   (1)

DMNC hình thang có EF là đường trung bình nên : EF = (MN + DC)/2 . Thế vào (1)

MN = [AB + (MN  + DC)/2] / 2 = (2AB + MN +DC)/4 = (2AB + DC)/4 + MN/4

--> MN - MN/4 = (2AB + CD)/4 --> 3MN/4 = (2AB + CD)/4 --> 3MN =  (2AB + CD) (cùng mấu = 4)

--> MN =  (2AB + CD)/3  (đpcm)

Trong hình thang MNCD có E; F đường trung bình  nên EF// AB // CD

EF = (MN + CD)/2 Thế MN = (2AB + CD)/3 ta có : EF = [(2AB + CD)/3 + CD]/2 = (2AB + 4CD)/6

EF =  2(AB + 2CD)/6 = (AB + 2CD)/3 --> EF = (AB + 2CD)/3 (đpcm)