$\\$

`a,`

Có : `AE + EC = AC`

`-> EC = AC - AE`

`-> EC = 5 - 3`

`-> EC = 2cm`

Do `ΔABC` cân tại `A` (gt)

`-> AB=AC`

mà `AC=5cm`

`-> AB=5cm`

Xét `ΔABE` vuông tại `E` có :

`AE^2 + BE^2 = AB^2` (Pitago)

`-> BE^2 = AB^2 - AE^2`

`-> BE^2 = 5^2 - 3^2`

`->  BE^2=4^2`

`-> BE=4cm`

Xét `ΔBEC` vuông tại `E` có :

`BE^2 + EC^2 = BC^2` (Pitago)

`-> BC^2 = 4^2+ 2^2`

`-> BC^2=20`

`->BC=\sqrt{20}cm`

$\\$

`b,`

Xét `ΔBDC` và `ΔCEB` có :

`hat{BDC}=hat{CEB}=90^o` (gt)

`hat{B}=hat{C}` (Do `ΔABC` cân tại `A`)

`BC` chung

`-> ΔBDC = ΔCEB` (cạnh huyền  - góc nhọn)

`-> CD = BE` (2 cạnh tương ứng)

và `hat{BCD}=hat{CBE}` (2 góc tương ứng)

hay `hat{BCI}=hat{CBI}`

`-> ΔBIC` cân tại `I`

$\\$

`c,`

Có : `BE⊥AC` (gt)

`-> BE` là đường cao của `ΔABC`

Có : `CD⊥AC` (gt)

`-> CD` là đường cao của `ΔABC`

Xét `ΔABC` có :

`BE` là đường cao (cmt)

`CD` là đường cao (cmt)

`BE` cắt `CD` tại `I`

`-> I` là trực tâm của `ΔABC`

`-> AI` là đường cao của `ΔABC`

`-> AI⊥BC`

Đáp án+Giải thích các bước giải:

`a) ΔABC` cân tại `A`

       `=> AB = AC`

      mà `AC = 5(cm)`

      `=> AB = 5(cm)`

    `ΔAEB` vuông tại `E`

        `=> AB^2 = AE^2 + BE^2(` Định lí `Pytago)`

         hay `5^2 = 3^2 + BE^2`

            `=> BE = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4(cm)`

     Lại có: `AC = AE + EC`

          hay ` 5 = 3 + EC`

            `=> EC = 5-3=2(cm)`

    `ΔBEC` vuông tại `E`

          `=> BC^2 = BE^2 + EC^2(` Định lí `Pytago)`

         hay `BC^ 2= 4^2 + 2^2`

            `=> BC = \sqrt{4^2+2^2} = 2\sqrt{5}(cm)`

`b)` Xét `ΔAEB` và `ΔADC` có:

           `\hat{AEB}=\hat{ADC}(=90^o)`

                `AB = AC`

               `\hat{BAC}` chung

         `=> ΔAEB=ΔADC(` cạnh huyền - góc nhọn)

          `=> BE = CD(2` cạnh tương ứng)

      Ta có: `\hat{ABE} + \hat{IBC} = \hat{ABC}`

                 `\hat{ACD} + \hat{ICB} = \hat{ACB}`

               mà `\hat{ABE} =\hat{ACD}(` do `ΔAEB=ΔADC)`

                     `\hat{ABC}= \hat{ACB}(` do `ΔABC` cân tại `A)`

                 `=> \hat{IBC} =\hat{ICB} `

                  `=> ΔIBC` cân tại `I`

`c) ΔABc` có: `CD` là đường cao ứng với cạnh `AB`

                     `BE` là đường cao ứng với cạnh `AC`

                  mà `CD` cắt `BE` tại `I`

                    `=> I` là trực tâm của `ΔABC`

                     `=> AI` là đường cao ứng với cạnh `BC`

                      `=> AI bot BC`