`a.` Giả sử `2n+1/6n+1` là phân số chưa tối giản thì `2n+1` và `6n+1` còn chia hết cho `d` (`d` khác `1`)

`=>(2n+1)-(6n+1)` chia hết cho `d`

`6n+3-6n-1` chia hết cho `d`

`2` chia hết cho `d`

`=>d ∈  Ư(2)= 1;2`

mà `2n+1` là số lẻ nên ko có ước `2`

`=>d=1`

mà `d` khác `1` nên ko có trường hợp trên

`=>` phân số `2n+1/6n+1` chưa tối giản

`b.` `A = 2013/2013 - 1/2013 + 2014/2014 -1/2014 + 2015/2015 - 1/2015 + 2012/2012 + 3/2012`

`A = 1 - 1/2013 + 1 - 1/2014 + 1 - 1/2015 + 1 = 1/2012 + 1/2012 + 1/2012`

`A = 4 + ( 1/2012 - 1/2013) + (1/2012 - 1/2014) + (1/2012 - 1/ 2015)`

Vì:

`1/2012 > 1/2013 => 1/2012 - 1/2013>0`

`1/2012 > 1/2014 => 1/2012 - 1/2014>0`

`1/2012 > 1/2015 => 1/2012 - 1/2015>0`

`=>( 1/2012 - 1/2013) + (1/2012 - 1/2014) + (1/2012 - 1/ 2015) >0.`

`=>4 + ( 1/2012 - 1/2013) + (1/2012 - 1/2014) + (1/2012 - 1/ 2015) > )+ 4 = 4.`

`c.` Số tự nhiên là một số nguyên dương `(0,1,2,3,...)` vì vậy chỉ có thể là `a=0; b=13`

Thử lại: `10^a+168`

`=> 10^0+168=1+168=169`

Mà `b^2=13^2=169`

Nên kết quả là `a=0;b=13`

Đáp án + giải thích các bước giải:

a) Gọi ƯCLN của `2n+1` và `6n+1` là `d`

`->2n+1\vdotsd;6n+1\vdotsd`

`->6n+1-2n+1\vdotsd`

`->4n\vdotsd`

`->4n-(2n+1)\vdots d`

`->2n-1\vdots d`

`->2n-1-(2n+1) d`

`->-2\vdots d`

`->2\vdotsd `

`->d=1;2`

mà `2n+1 \cancel\vdots 2`

`->d=1`

`->`Phân số tối giản 

b) `A=2012/2013+2013/2014+2014/2015+2015/2012`

`=1-1/2013+1-1/2014+1-1/2015+1+3/2012`

`=4+1/2012-1/2013+1/2012-1/2014+1/2012-1/2015`

Vì `1/2012>1/2013>1/2014>1/2015`

`->1/2012-1/2013+1/2012-1/2014+1/2012-1/2015>0`

`->4+1/2012-1/2013+1/2012-1/2014+1/2012-1/2015>4`

`->A>4`

c) Với `a=0`

`->10^0+168=b^2`

`->1+168=b^2`

`->b^2=169`

`->b=13`

Với `a\ne0`

`->10^a` tận cùng là `0`

`->10^a+168` tận cùng là `8 `

mà `b^2` là số chính phương, trong khi số chính phương chỉ có chữ số tận cùng là `0,1,4,5,6,9`, nếu các số tận cùng là `2,3,7,8` thì không phải là số chính phương

`->`Không tồn tại `a;b`

Vậy `a=0;b=13`