a)

xét `ΔBAD` và `ΔBED` có

`BD` là cạnh chung

`hat(ABD)=hat(EBD` ( `BD` là tia phân giác của `hat(ABC)` )

`hat(BAD)=hat(BED)=90^o`

`=>ΔBAD=ΔBED` (c.huyền-g.nhọn )

b)

ta có `ΔBAD=ΔBED` 

`=>BA=BE`

do đó `ΔABE` cân tại `B`

mà `BD` là tia phân giác

do đó `BD` đồng thời là đường trung trực của `ΔABE`

hay `BD` là đường trung trực của `AE (đpcm )

c)

ta có `BC>BD=>DC>AD` ( quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu )

d)

xét `ΔEDC` và `ΔADF` có

`hat(DAF)=hat(DEC)=90^o`

`AD=ED` (`ΔBAD=ΔBED`)

`hat(ADF)=hat(EDC)` ( đối đỉnh )

`=>ΔEDC=ΔADF` ( c.g. vuông-g.nhọn )

do đó `AF=EC`

ta có: `AB+AF=BF`
          `BE+EC=BC`
mà `BA=BE;AF=EC`

`=>BF=BC`

do đó `ΔBFE` cân tại `B`

mà `ΔABE` cân tại `B`

do đó `hat(BAE)=hat(BFC)`

mà 2 góc này ở vị tró đồng vị 

nên `AE`//`FC (đpcm )`

a )Xét ΔBAD và ΔBED , có : 

      BD chung 

      ∠BAD = ∠BED = 90

      ∠ABD = ∠ EBD ( BD là phân giác ∠ ABE )

⇒ ΔBAD = ΔBED ( Cạnh huyền - góc nhọn )

b) Vì ΔBAD = ΔBED ( theo a ) ⇒ AB = BE ⇒ ΔABE cân tại B

Có BD là đương phân giác nên đồng thời là đường trung trực

⇒ BD là đường trung trực của đoạn thăng AE

c) Có BD < BC ⇒ AD < DC ( quan hệ giữa đuờng xiên và hình chiếu  )

d ) gọi FE cắt CA tại I

CÓ BD là đường trung trực của đoạn thăng AE ⇒BI ⊥AE

Có : ∠BAI + ∠ABI = 90  (1)

ΔBFC có : CA ⊥ BF , FE⊥ BC

Mà FE cắt CA tại I ⇒ I là trực tâm của ΔBFC 

⇒ ∠BFH + ∠FBH = 90 (2)

Từ 1 , 2 ⇒ BAE = ∠BFC mà 2 góc ở vị trí dồng vị ⇒ AE // FC