Đáp án:

\(\begin{array}{l}
\textbf{Câu 9:}\quad B.\ \dfrac{a\sqrt3}{2}\\
\textbf{Câu 10:}\quad B.\ \dfrac{2a}{\sqrt5}\\
\textbf{Câu 11:}\quad B. \dfrac{2a\sqrt{66}}{11}
\end{array}\)

Giải thích các bước giải:

$\textbf{Câu 9:}$

Xét $\triangle SAC$ đều có $O$ là trung điểm $AC$

$\Rightarrow \begin{cases}SO\perp AC\\SO = \dfrac{SA\sqrt3}{2} = a\sqrt3\\S_{SAC} = \dfrac{SA^2\sqrt3}{4} = a^2\sqrt3\end{cases}$

Áp dụng định lý $Pythagoras$ ta được:

$\quad AC^2 = AB^2 + BC^2$

$\Rightarrow BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{4a^2 - a^2} = a\sqrt3$

$\Rightarrow S_{ABC} = \dfrac12AB.BC = \dfrac12\cdot a\cdot a\sqrt3 = \dfrac{a^2\sqrt3}{2}$

$\Rightarrow S_{ACD} = \dfrac{a^2\sqrt3}{2}$

Ta có:

$\begin{cases}(SAC)\perp (ABCD)\\(SAC)\cap (ABCD) = AC\\SO\perp AC\quad (cmt)\\SO\subset (SAC)\end{cases}$

$\Rightarrow SO\perp (ABCD)$

$\Rightarrow SO\perp (ACD)$

$\Rightarrow V_{S.ACD} = \dfrac13S_{ACD}.SO$

$\Rightarrow \dfrac13S_{SAC}.d(A;(SAC)) = \dfrac13S_{ACD}.SO$

$\Rightarrow d(A;(SAC)) = \dfrac{S_{ACD}.SO}{S_{SAC}} = \dfrac{\dfrac{a^2\sqrt3}{2}\cdot a\sqrt3}{a^2\sqrt3}$

$\Rightarrow d(A:(SAC)) = \dfrac{a\sqrt3}{2}$

Vậy $d(A:(SAC)) = \dfrac{a\sqrt3}{2}$

$\textbf{Câu 10:}$

Gọi $AC\cap BD =\{O\}$

$\Rightarrow (SAC)\cap (SBD) = SO$

Khi đó:

$\begin{cases}(SAC)\perp (ABCD)\\(SBD)\perp (ABCD)\\(SAC)\cap (SBD) = SO\end{cases}$

$\Rightarrow SO\perp (ABCD)$

Từ $A$ kẻ $AH\perp BD$

$\Rightarrow SO\perp AH$

$\Rightarrow AH\perp (SBD)$

$\Rightarrow AH = d(A;(SBD))$

Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle ABD$ vuông tại $A$ đường cao $AH$ ta được:

$\quad \dfrac{1}{AH^2} = \dfrac{1}{AB^2} + \dfrac{1}{AD^2}$

$\Rightarrow AH = \dfrac{AB.AD}{\sqrt{AB^2 + AD^2}} = \dfrac{a.2a}{\sqrt{a^2 + 4a^2}}$

$\Rightarrow AH = \dfrac{2a}{\sqrt5}$

Vậy $d(A;(SBD))= \dfrac{2a}{\sqrt5}$

$\textbf{Câu 11:}$

Xét $\triangle SAB$ đều

Gọi $H$ là trung điểm $AB$

$\Rightarrow \begin{cases}SH\perp AB\\SH = \dfrac{AB\sqrt3}{2}\end{cases}$

Ta có:

$\begin{cases}(SAB)\perp (ABCD)\\(SAB)\cap (ABCD) = AB\\SH\perp AB\quad (cmt)\\SH\subset (SAB)\end{cases}$

$\Rightarrow SH\perp (ABCD)$

$\Rightarrow \widehat{(SC;(ABCD))} = \widehat{SCH} = 30^\circ$

$\Rightarrow \begin{cases}SH = SC.\sin30^\circ = \dfrac{SC}{2}\\HC = SC.\cos30^\circ = \dfrac{SC\sqrt3}{2}\end{cases}$

Mặt khác:

$\triangle AHD = \triangle BHC\ (c.g.c)$

$\Rightarrow HD = HC$

$\Rightarrow \triangle SHD = \triangle SHC\ (c.g.c)$

$\Rightarrow SD = SC = 2a\sqrt3$

$\Rightarrow \begin{cases}SH = a\sqrt3\\HC = 3a\\AB = \dfrac{2SH}{\sqrt3} = 2a\end{cases}$

$\Rightarrow HB = HA = \dfrac12AB = a$

Áp dụng định lý $Pythagoras$ ta được:

$+)\quad HC^2 = HB^2 + BC^2$

$\Rightarrow BC = \sqrt{HC^2 -HB^2} = \sqrt{9a^2 - a^2} = 2a\sqrt2$

$+)\quad AC^2 = AB^2 + BC^2$

$\Rightarrow AC =\sqrt{AB^2 + BC^2}=\sqrt{4a^2 + 8a^2}= 2a\sqrt3$

Từ $H$ kẻ $HI\perp AC$

$\Rightarrow \triangle AHI\backsim \triangle ACB\ (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{HA}{AC}=\dfrac{HI}{BC}$

$\Rightarrow HI =\dfrac{HA.BC}{AC}=\dfrac{a.2a\sqrt2}{2a\sqrt3}$

$\Rightarrow HI= \dfrac{a\sqrt6}{3}$

Bên cạnh đó:

$\begin{cases}HI\perp AC\quad \text{(cách dựng)}\\SH\perp AC\quad (SH\perp (ABCD))\end{cases}$

$\Rightarrow AC\perp (SHI)$

Trong $mp(SHI)$ kẻ $HK\perp SI$

$\Rightarrow AC\perp HK$

$\Rightarrow HK\perp (SAC)$

$\Rightarrow HK = d(H;(SAC))$

Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle SHI$ vuông tại $H$ đường cao $HK$ ta được:

$\quad \dfrac{1}{HK^2} = \dfrac{1}{HI^2} + \dfrac{1}{SH^2}$

$\Rightarrow HK = \dfrac{HI.SH}{\sqrt{HI^2 + SH^2}} = \dfrac{\dfrac{a\sqrt6}{3}\cdot a\sqrt3}{\sqrt{\dfrac{2a^2}{3} + 3a^2}}$

$\Rightarrow HK = \dfrac{a\sqrt{66}}{11}$

Ta lại có:

$HA = \dfrac12AB$

$\Rightarrow d(H;(SAC)) = \dfrac12d(B;(SAC))$

$\Rightarrow d(B;(SAC)) = 2d(H;(SAC)) = \dfrac{2a\sqrt{66}}{11}$

Vậy $h = \dfrac{2a\sqrt{66}}{11}$