Đáp án + giải thích các bước giải:

Với `p=(a+b+c)/2, ta có S_{ABC}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}`

Mà `S_{ABC}=1/2 . h_a . a`

`->1/4 a^2 . h_a^2 = p(p-a)(p-b)(p-c)`

`->h_a^2=(4p(p-a)(p-b)(p-c))/(a^2)`

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si dạng `ab<=(a+b)^2/4`

`->(p-b)(p-c)<=(p-b+p-c)^2/4 =(2p-b-c)^2/4=a^2/4`

`->h_a^2 <= (4p(p-a) a^2/4 )/a^2=p(p-a)=(a=b+c)/2 . (a+b+c-2a)/2=1/4 (a+b+c)(b+c-a)`

Dấu bằng xảy ra khi `b=c` hay tam giác `ABC` cân tại `A`

$\text{Bạn tự vẽ hình nhá}$

$\text{Gọi HA là chiều cao của tam giác ABC }$

$\text{Nên $h_{a}$ =AH}$

$\text{Trên tia đối của AH lấy điểm D sao cho A là trung điểm của HD}$

$\text{Áp dụng định lý Pytago vào tam giác HDB ,ta có}$

$\text{HD²=BD²-BH=BD²-BH²}$

$\text{⇔4.$h_{a}$²=BD²-BH² (1)}$

$\text{Mặt khác nếu tam giác có góc tù  thì BH≥BC=a(2)}$

$\text{THeo bất đẳng thức tam giac DAB ,ta có}$

$\text{BD≤DA+AB=AH+AB≤AC+AB=b+c (3)}$

$\text{(1);(2);(3)⇒4.$h_{a}$²≤(b+c)²-a²=(a+b+c).(-a+b+c) (dpcm)}$