Đáp án:

$\\$

`a,`

Có : `hat{DCA} + hat{DCE}=hat{ACE}`

Có : `hat{BCE} + hat{DCE} = hat{DCB}`

mà `hat{DCA}=hat{BCE}=60^o` (Do `ΔADC` đều và `ΔBCE` đều)

`-> hat{ACE}=hat{DCB}`

Xét `ΔACE` và `ΔDCB` có :

`hat{ACE}=hat{DCB}` (cmt)

`AC = DC` (Do `ΔADC` đều)

`CE = BC` (Do `ΔBCE` đều)

`-> ΔACE  = ΔDCB` (cạnh - góc  -cạnh)

`-> AE = BD` (2 cạnh tương ứng)

$\\$

`b,`

Do `ΔACE = ΔDCB` (cmt)

`-> hat{AEC}=hat{DBC}` (2 góc tương ứng)

hay `hat{MEC}=hat{NBC}`

Có : `BN = 1/2 BD` (Do `N` là trung điểm của `BD`)

Có : `ME = 1/2 AE` (Do `M` là trung điểm của `AE`)

mà `AE=BD`  (cmt) `-> 1/2 BD = 1/2 AE`

`-> BN = ME`

Xét `ΔCME` và `ΔCNB` có :   

`CE = BC` (Do `ΔBCE` đều)

`ME=NB` (cmt)

`hat{MEC}=hat{NBC}` (cmt)

`-> ΔCME = ΔCNB` (cạnh - góc - cạnh)

$\\$

`c,`

Do `ΔCME = ΔCNB` (cmt)

`-> CM = CN` (2 cạnh tương ứng)

`-> ΔCMN` cân tại `C`

Do `ΔCME = ΔCNB` (cmt)

`-> hat{CME}=hat{CNB}` (2 góc tương ứng)

Có : `hat{CME} + hat{AMC}=180^o` (2 góc kề bù)

Có : `hat{CNB} + hat{DNC}=180^o` (2 góc kề bù)

mà `hat{CME}=hat{CNB}` (cmt)

`-> hat{AMC}=hat{DNC}`

Có : `DN = 1/2 BD` (Do `N` là trung điểm của `BD`)

Có : `AM = 1/2 AE` (Do `M` là trung điểm của `AE`)

mà `BD=AE` (cmt) `-> 1/2 BD = 1/2 AE`

`-> DN = AM`

Xét `ΔAMC` và `ΔDNC` có :

`hat{AMC}=hat{DNC}` (cmt)

`CM=CN` (cmt)

`AM = DN` (cmt)

`-> ΔAMC = ΔDNC` (cạnh - góc - cạnh)

`-> hat{ACM}=hat{DCN}` (2 góc tương ứng)

Có : `hat{ACD} + hat{DCM}=hat{ACM}`

Có : `hat{MCN} + hat{DCM}=hat{DCN}`

mà `hat{ACM}=hat{DCN}`

`-> hat{ACD}=hat{MCD}`

mà `hat{ACD}=60^o` (Do `ΔADC` đều)

`-> hat{MCD}=60^o`

Lại có : `ΔMNC` cân tại `C` (cmt)

`-> ΔMNC` đều

Bạn tự vẽ hình nhé !

`a)` Có `ACE = ACD + DCE = 60^o + DCE`

`DCB = BCE + DCE = 60^o + DCE`

`=> ACE = DCB`

Xét tam giác `ACE` và tam giác `DCB` có :

`EC = BC` ( `EBC` đều)

`AC = CD` ( `ADC` đều)

`ACE = DCB (cmt)`

`=>` Tam giác `ACE` = tam giác `DCB` ( c.g.c)

`=> AE = BD (đpcm)`

`b)` Có : `ME = 1/2 AE` ( M là trung điểm AE)

`BN = 1/2 BD ( N là trung điểm BD)

`AE = BD (cmt)`

`=> ME = BN`

Xét tam giác `CME` và tam giác `CNB` có :

`ME = BN (cmt)`

`CE = BC` ( tam giác CEB đều )

`CEB = CBN` ( do tam giác `ACE =` tam giác `DCB`)

`=>` Tam giác `CME =` tam giác `CNB` ( c.g.c)

`c)` Tam giác CME = tam giác CNB (cmt)

`=> CM = CN`

`=>` Tam giác CMN cân tại C (1)

Xét tam giác `AMC` và tam giác `DNC` có :

`AM = DN ( = 1/2 AE = 1/2 BD)`

`MAC = CDN` ( tam giác ACE = tam giác DCA )

`CD = AC` ( tam giác ADC đều )

`=>` Tam giác `AMC =` tam giác `DNC` ( c.g.c)

`=> MCA = DCN`

`=> MCN = 60^o` (2)

Từ (1) và (2) `=>` Tam giác `CMN` đều - đpcm