`a)`

Vì `ΔABC` cân tại `A`

`⇒AB=AC(` tính chất `Δ` cân `)`

    `hat{ABC}=hat{ACB}(` tính chất `Δ` cân `)`

Xét `2Δ` vuông `BEC` và `CDB` có:

           `hat{EBC}=hat{DCB}(cmt)`

             `BC:chung`

`⇒ΔBEC=ΔCDB(` cạnh huyền-góc nhọn `)`

`⇒EB=DC(2` cạnh tương ứng `)`

Ta có:`AB=AE+EB`

         `AC=AD+DC`

Mà `AB=AC(cmt)`

      `EB=DC(cmt)`

`⇒AE=AD`

`⇒ΔADE` cân tại `A(đpcm)`

`b)`

Vì `ΔADE` cân tại `A`

`⇒hat{AED}=(180^o-hat{A})/2(1)`

Vì `ΔABC` cân tại `A`

`⇒hat{ABC}=(180^o-hat{A})/2(2)`

Từ `(1)` và `(2)⇒hat{AED}=hat{ABC}`

Mà `2` góc này nằm ở vị trí đồng vị

`⇒text{DE//BC(đpcm)}`

`c)`

Theo câu `a)ΔBEC=ΔCDB(` cạnh huyền-góc nhọn `)`

`⇒hat{C_1}=hat{B_1}(2` góc tương ứng `)`

`⇒ΔIBC` cân tại `I`

`⇒IB=IC(` tính chất `Δ` cân `)(đpcm)`

`d)`

Xét `ΔABI` và `ΔACI` có:

        `AB=AC(cmt)`

        `AI:chung`

        `IB=IC(cmt)`

`⇒ΔABI=ΔACI(c.c.c)`

`⇒hat{A_1}=hat{A_2}(2` góc tương ứng `)`

`⇒AI` là đường phân giác của `ΔABC`

Vì `Δ` cân `ABC` có `AI` là đường phân giác 

`⇒AI` đồng thời là đường cao của `ΔABC`

`⇒AI⊥BC(đpcm)`

Đáp án:

$\\$

`a,`

Xét `ΔAEC` và `ΔADB` có :

`hat{AEC}=hat{ADB}=90^o` (gt)

`hat{A}` chung

`AB=AC` (Do `ΔABC` cân tại `A`)

`-> ΔAEC = ΔADB` (cạnh huyền - góc nhọn)

`-> AE=AD` (2 cạnh tương ứng)

`-> ΔADE` cân tại `A`

$\\$

`b,`

Do `ΔADE` cân tại `A` (cmt)

`-> hat{AED}=(180^o - hat{A})/2` `(1)`

Do `ΔABC` cân tại `A`

`-> hat{ABC}=(180^o - hat{A})/2` `(2)`

Từ `(1), (2)`

`-> hat{AED}=hat{ABC} (=(180^o - hat{A})/2)`

mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

$→ DE//BC$

$\\$

`c,`

Do `ΔADB = ΔAEC` (cmt)

`-> hat{ABD}=hat{ACE}` (2 góc tương ứng)

Có : `hat{ABD} + hat{IBC}=hat{ABC}`

Có : `hat{ACE} + hat{ICB}=hat{ACB}`

mà `hat{ABD}=hat{ACE}` (cmt) và `hat{ABC}=hat{ACB}` (cmt)

`-> hat{IBC}=hat{ICB}`

`-> ΔBIC` cân tại `I`

`-> IB=IC`

$\\$

`d,`

Có : `BD⊥AC` (gt)

`-> BD` là đường cao của `ΔABC`

Có : `CE⊥AB` (gt)

`-> CE` là đường cao của `ΔABC`

Xét `ΔABC` có :

`BD` là đường cao (cmt)

`CE` là đường cao (cmt)

`BD` cắt `CE` tại `I`

`-> I` là trực tâm của `ΔABC`

`-> AI` là đường cao của `ΔABC`

`-> AI⊥BC`