Đáp án+Giải thích các bước giải:

`a)` Xét `ΔAMB` và `ΔEMC` có:

          `\hat{BAM}=\hat{MEC}(=90^o)`

            `\hat{BMA}=\hat{EMC}`(đối đỉnh)

        `=> ΔAMB` $\backsim$ `ΔEMC(g.g)(1)`

`b) ΔABC` vuông tại `A` 

         `=> BC^2=AB^2+AC^2`(Định lí `Pytago)`

         hay `5^2 = 3^2+AC^2`

           `=> AC = \sqrt{5^2-3^2}=4(cm)`

    `ΔABC` có `BM` là tian phân giác của `\hat{ABC}`

          `=> (AM)/(AB)=(CM)/(BC)` hay `{AM)/3 = (CM)/5`

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

         `(AM)/3 = (CM)/5 = (AM+CM)/(3+5)=(AC)/8=4/8=1/2`

 `=> AM = 3 . 1/2 = 1,5(cm)`

`c)` Từ `(1) => \hat{ABM}=\hat{ECM}`

            mà `\hat{ABM}=\hat{EBC}`

               `=> \hat{EBC}=\hat{ECM}`

   Xét `ΔECM` và `ΔEBC` có: 

         `\hat{BEC}` chung

       `\hat{EBC}=\hat{ECM}`

          `=> ΔECM` $\backsim$ `ΔEBC(g.g)`

           `=> (EC)/(EB)=(EM)/(EC)`

          `=> EC^2=EB.EM`

`d)` Gọi giao điểm của `IM` và `BC` là `O`

`ΔBIC` có: `BE` là đường cao ứng với cạnh `IC`

                `CA` là đường cao ứng với cạnh `BI`

           mà `BE` cắt `CA` tại `M`

              `=> M` là trực tâm của `ΔBIC`

          mà `M∈IO`

             `=> IO` là đường cao ứng với cạnh `BC`

             `=> IO bot BC`

  Xét `ΔBEC` và `ΔIOC` có:

        `\hat{OCI}` chung

      `\hat{BEC}=\hat{IOC}(=90^o)`

            `=> ΔBEC` $\backsim$ `ΔIOC(g.g)`

            `=>  (BC)/(CI)=(CE)/(OC)`

            `=> CE.CI=BC.OC`

  Xét `ΔBAC` và `ΔBOI` có:

        `\hat{IBC}` chung

      `\hat{BAC}=\hat{IOB}(=90^o)`

            `=> ΔBAC` $\backsim$ `ΔBOI(g.g)`

            `=>  (BC)/(BI)=(BA)/(OB)`

            `=> BI.BA=BC.OB`

Ta có: `CE.CI+ BI.BA=BC.OC+BC.OB`

                               `=BC.(OC+OB)`

                               `=BC.BC`

                               `=BC^2`