a, ΔABC vuông tại A (gt) ⇒ $\widehat{BAC}=90^o$

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong ΔABC vuông tại A (gt), AH ⊥ BC (gt) có: 

AH² = BH.CH = 4.9 = 36

⇒ AH = 6 cm (vì AH>0)

HD ⊥ AB (gt) ⇒ $\widehat{HDA}=\widehat{HDB}=90^o$

HE ⊥ AC (gt) ⇒ $\widehat{HEA}=\widehat{HEC}=90^o$

Xét tứ giác ADEH có: 

$\widehat{HDA}=90^o$ (cmt)

$\widehat{HEA}=90^o$ (cmt)

$\widehat{DAE}=90^o$ ($\widehat{BAC}=90^o$)

⇒ Tứ giác ADEH là hình chữ nhật

⇒ AH = DE = 6 cm

b, Gọi giao điểm của AH và DE là I

Tứ giác ADEH là hình chữ nhật (cmt)

⇒ I là trung điểm của AH, I là trung điểm của DE

Mà AH = DE (cmt)

⇒ IA = IH = ID = IE

DM ⊥ DE (gt) ⇒ $\widehat{EDM}=90^o$ Hay $\widehat{IDM}=90^o$

HE ⊥ AC (gt) ⇒ $\widehat{DEN}=90^o$ Hay $\widehat{IEN}=90^o$

AH ⊥ BC (gt) ⇒ $\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90^o$

Hay $\widehat{IHM}=\widehat{IHN}=90^o$

Xét Δ IDM vuông tại D ($\widehat{IDM}=90^o$) và ΔIHM vuông tại H ($\widehat{IHM}=90^o$) có:

ID = IH (cmt)

IM : cạnh chung

⇒ ΔIDM = ΔIHM (cạnh huyền- cạnh góc vuông)

⇒ DM = HM

Xét ΔDMH có: DM = HM (cmt)

⇒ ΔDHM cân tại M

⇒ $\widehat{MDH}=\widehat{MHD}$ Hay $\widehat{MDH}=\widehat{DHB}$ 

Xét ΔBDH vuông tại D ( $\widehat{HDB}=90^o$) có:

$\widehat{DBH}+\widehat{DHB}=90^o$ (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)

$\widehat{MDH}+\widehat{MDB}=\widehat{HDB}=90^o$

Mà $\widehat{MDH}=\widehat{DHB}$ (cmt)

⇒ $\widehat{DBH}=\widehat{MDB}$ Hay $\widehat{DBM}=\widehat{MDB}$ 

Xét ΔDBM có: $\widehat{DBM}=\widehat{MDB}$ (cmt)

⇒ ΔDBM cân tại M

⇒ MD = MB

Mà MD = MH (cmt)

⇒ MB = MH ⇒ M là trung điểm của BH

⇒ $MH=\frac{1}{2}BH$

Xét Δ IEN vuông tại E ($\widehat{IEN}=90^o$) và ΔIHN vuông tại H ($\widehat{IHN}=90^o$) có:

IE = IH (cmt)

IN : cạnh chung

⇒ ΔIEN = ΔIHN (cạnh huyền- cạnh góc vuông)

⇒ EN = HN

Xét ΔENH có: EN = HN (cmt)

⇒ ΔENH cân tại N

⇒ $\widehat{EHN}=\widehat{NEH}$ Hay $\widehat{EHC}=\widehat{NEH}$ 

Xét ΔCEH vuông tại E ( $\widehat{HEC}=90^o$) có:

$\widehat{EHC}+\widehat{ECH}=90^o$ (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)

$\widehat{HEN}+\widehat{NEC}=\widehat{HEC}=90^o$

Mà $\widehat{EHC}=\widehat{NEH}$ (cmt)

⇒ $\widehat{ECH}=\widehat{CEN}$ Hay $\widehat{ECN}=\widehat{CEN}$ 

Xét ΔNEC có: $\widehat{ECN}=\widehat{CEN}$ (cmt)

⇒ ΔNEC cân tại N

⇒ NE = NC

Mà NE = NH (cmt)

⇒ NC = NH ⇒ N là trung điểm của CH

⇒ $NH=\frac{1}{2}CH$

Mà $MH=\frac{1}{2}BH$ (cmt)

⇒ $MH+NH=\frac{1}{2}BH+\frac{1}{2}CH$ ⇒ $MN=\frac{1}{2}BC$

c, DM ⊥ DE (gt)

EN ⊥ DE (gt)

⇒ DM // EN (từ vuông góc đến song song)

⇒ Tứ giác DMNE là hình thang

Mà $\widehat{EDM}=90^o$ (cmt)

⇒ Tứ giác DMNE là hình thang vuông

⇒ $S_{DMNE}=\frac{1}{2}(DM+EN).DE$

Có DM = MH (cmt), EN = NH (cmt)

⇒ $S_{DMNE}=\frac{1}{2}(MH+NH).DE=\frac{1}{2}MN.DE=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}BC.DE=\frac{1}{4}BC.DE$

Có BC = BH + CH = 4 + 9 = 13 (cm)

⇒ $S_{DMNE}=\frac{1}{4}.13.6=\frac{39}{2}(cm^{2})$